[研究生入學(xué)考試]高等代數(shù)考研輔導(dǎo)第3講線性方程組-wenkub
2022-11-03 01:17:09 本頁(yè)面
【正文】 方程組 有無(wú)窮多個(gè)解 ( ) 若 ( ) ( ) 則方程組 無(wú)解.139。39。矩陣型: 令 ( ) 。39。第三講線性方程組 基本內(nèi)容及歷年真題 一、概念與解法12111.....nnij m nn n n nmnnnnnnnA m n m na a aa a am n A aa a aP m n Pm n P n n I EPP?????????????????????1 1 1 2 12 1 2 2 2矩陣(1) 由 個(gè)數(shù)排成 行 列的表: 稱為一個(gè) 矩陣, 記作 ( )(2) 數(shù)域 一切 矩陣組成的集合, 記為(3) 當(dāng) 時(shí), 稱為 方陣構(gòu)成的集合 階單位矩陣記作 或(4) 或 中元素稱 .1 , 1 , , 1 .ni k k k mii? ? ????為 維向量() 第 行的首非零元前的零元個(gè)數(shù)大于第 行的這種零元個(gè)數(shù)(5) 階梯形矩陣:() 如果某行沒(méi)有非零元?jiǎng)t其下所有行的元全為零.2., 1 0 , .00i j m nmnA a A r r A r r A rA r AA r A????????矩陣的秩(1) 設(shè)非零矩陣 ( ) 中若存在一 階子式不為0 , 所有 階子式都等于 則稱 的秩為 記作( ) =(2) 若 ( ) = 0 .(3) 若 ( ) = 03.:()()(), . , , .mnA P AiAi i P Ai i i A AAA B A B A B A B B C A CA????矩陣初等變換(1) , 的行初等變換是指以下三種之一換法變換:交 換矩陣 中的兩行或列。 39。 則方程組( 1 ) 可表示為39。39。39。 39。39。( ) 。4 . 0 0 。. ) ) ( ) .A m n A A A A A? ? ?例3 8 設(shè) 是 階實(shí)矩陣, 證明: 秩( 秩( 秩1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 02 6 4 1. , .3 2 7 16x x x xx x x xptx x p x xx x x x t? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??例3 6 設(shè) 試討論 取什么值時(shí), 方程組有解或無(wú)解, 并在有解時(shí)求其全部解. 7 0 0 .TA m n A X A A X? ? ?例3 設(shè) 是 階實(shí)矩陣, 證明: 線性方程組 與 同解1 1 12. 9 , , , , , ( 1 ), , , .n m kknkm? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?例3 設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān), 可由 線性表出則 使得 線性無(wú)關(guān)1 1 111. 1 0 , , , , , , , , , , , , , , , .n n nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?例3 設(shè) 線性無(wú)關(guān), 而 線性相關(guān) 則 至少有一個(gè)可以被 線性表出或者 與 等價(jià)1 1 1 1 1 11 1 1 1.1 1 , , 2 , , , , ,.m m m mm m m m mm k k kk? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ???例3 設(shè)向量組 ( ) 中 0 , 證明: 對(duì)任意的數(shù) 向量組 = = 線性無(wú)關(guān) 線性無(wú)關(guān). 1111.1 2 , , 2 0 , ,.mmmmm t ttt? ? ?? ? ? ?? ? ? ???例3 設(shè)向量組 ( ) 線性相關(guān) 不全為 的數(shù) 使得 有 線性相關(guān). 1 2 3 2 1 3 1 2 1 1 212.1 3 , , , , ,.r r r r rr? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?例3 設(shè) , , , , 問(wèn) 與 之間秩的關(guān)系. 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 , , , , , , , ,. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?例3 設(shè) 線性無(wú)關(guān)向量組 線性相關(guān) 證明 不能由 線性表示. 121 1 2 2 1 21 1 2 21 1 2 211.1 5 , , , , 1 , , ,0,mm m mmmmmmmk k k k k kk k kl l lkl? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ??例3 已知 個(gè)向量 線性相關(guān) 但其中任意 個(gè)都線性無(wú)關(guān) 證明: (1) 如果等式 = 0 , 則這些 或者全為0 , 或者全不為0 . (2) 如果存在兩個(gè)等式 = 0 =0 其中 則212.mmkkl l l? ? ?
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