【正文】 nni i n i nj j n j nn n n n nk a k a k ak a k a k ak a k a k ak a k a k a? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ????? ? ? ??將第 j 個方程的 t 倍加到第 i 個方程，我們得 到新的齊次線性方程組，它正對應 1 1 2 2 0nnk k k? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 0nnl l l? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 0nnl l l? ? ?? ? ? ?(2) 如果 我們同樣得到 求向量組的極大線性無關組的方法 ? 假設 是一組行向量，我們以 為 列 作矩陣 A ， 對矩陣 A 進行初等 行 變換， 得到階梯形矩陣 B， 由上面定理 7知道，矩陣 A 和 B 的列向量組有相同的線性關系 . 從而求出 的一個極大線性無關組 . 12, , , n? ? ?12, , , n? ? ?12, , , n? ? ?1 (1 , 2 , 1 )? ? 2 ( 2 , 1 , 3 )? ?3 ( 3 , 0 , 5 )? ?4 ( 5 , 1 , 6)? ?例 5 求 的一個極大線性無關組 1 2 3 5 1 2 3 52 1 0 1 0 1 2 31 3 5 6 0 0 0 2AB? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?從而矩陣 B的秩是 3，第 1， 2， 4 列線性無關 . 于是矩陣 A的秩也是 3，第 1， 2， 4列線性無關 . 我們得到向量組 的秩是 3, 是一個極大線性無關組 . 1 2 3 4, , ,? ? ? ?1 2 4,? ? ?167。 3 矩陣的秩 ? 矩陣的行秩 =矩陣的列秩 =矩陣的秩 ? 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩 ? 用子式定義矩陣的秩 ? 向量組的極大線性無關組的求法 ? 矩陣可以看成行向量組成的，也可看成列向量組成的 . ? 定義 12 所謂矩陣的 行秩 就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的 列秩 就是指矩陣的列向量組的秩 . )0,0,0,0(),5,0,0,0()4,1,2,0(),1,3,1,1(4321????????? 是行向量組的一個極大線性無關組 所以 行秩為 3 321 , ???例 18 矩陣 ????????????????0000500041201311A A的列向量組為 線性無關， 所以 是列向量組的一個極大線性無關組， 列秩為 3。 由上結論和定理 2的推論 3得。 ? 推論 3 兩個線性無關的等價向量組 ,必含有相同個數的向量。 ???????????????????000221122221211212111rsrssrrrrxtxtxtxtxtxtxtxtxt????? ? 推論 1 如果向量組 可以經過向量組 線性表出，且 線性無關，那么 r≤s. ? 推論 2 n+1個 n維向量必線性相關。 ? 每個向量組都可以由它自身線性表出 ? 如果向量組 可經向量組 線性表出， 可 以經 線性表出，那么向量組 t??? , 21 ?s??? , 21 ?s??? , 21 ?p??? , 21 ? 可以經 線性表出， ? 事實上 如果 ? 則 t??? , 21 ? p??? , 21 ?sjltikpmmjmjsjiiji,2,1,2,111??????????????tilklkpmmjmsjijsjpmmjmiji,2,1)(1 11 1???? ? ?? ?? ?? ???? ? 向量組等價性質 ： 1） 反身性 每一個向量組都與它自身等價； 2） 對稱性 如果向量組 與 等價，那么 與 等價； 3） 傳遞性 如果向量組 與 等價， 與 等價，那么 與 等價 t??? , 21 ?s??? , 21 ? s??? , 21 ?t??? , 21 ?t??? , 21 ?s??? , 21 ? s??? , 21 ?p??? , 21 ? t??? , 21 ?p??? , 21 ??定理 4 設 與 是 r??? , 21 ? s??? , 21 ?是兩個向量組，如果 1）向量組 可以經 線性表出， 2） rs， 那么向量組 必線性相關 （ 多的用少的線性表出，多的線性相關 ） r??? , 21 ? s??? , 21 ?r??? , 21 ? ? 證明 由 1）有 為了證明 線性相關，設 如果我們能找到不全為零的數 ritsjjjii ,2,11??? ????r??? , 21 ?02211 ???? rrxxx ??? ?rxxx , 21 ?使上式成立，那就證明了 的線性相關性。 ? n維單位向量組 線性無關。 0sk ?112211??????ssssss kkkkkk???? ?s? ? 定理 3’ 一向量組 不線性相關，即沒有不全為零的數 使得 就稱為 線性無關 ；或者說 稱為 線性無關 ，如果由 s??? , 21 ?skkk , 21 ?02211 ???? sskkk ??? ?s??? , 21 ?02211 ???? sskkk ??? ?可以推出 021 ???? skkk ?如何判斷一個向量組線性相關、線性無關 例 14 判斷 是否線性相關？ 12( 1 , 1 , 2 , 4 ) , ( 0 , 3 , 1 , 2 )??? ? ?3 (3 , 0 , 7 , 1 4 )? ?解 設 即 0332211 ??? ??? xxx13121 2 31 2 330302 7 04 2 1 4 0xxxxx x xx x x????? ? ???? ? ??? ? ? ?? ? 由消元法可解的方程組有無窮多組解，故向量組線性相關 , 特別取一組解（ 3， 1， 1）得 ? 一般判別一個向量組 （ 2） 是否線性相關，按定理 3，看方程 213 3 ??? ??siaaa iniii ,2,1),( 21 ?? ???02211 ???? sskkk ??? ? 是否有非零解 ， （ 3） 分量形式為： （ 4） 因此 , 向量組 線性無關的充要條件是齊次線性方程組（ 4）有非零解 ???????????????????000221122221121221111ssnnnssssxaxaxaxaxaxaxaxaxa?????s??? , 21 ?如果（ 2）線性無關，那么在每一個向量上添加一個分量得到的 n+1 維的向量組 （ 5） 也線性無關 .（ 原來無關，延長無關 ） 1 2 , 1( , , , , ) , 1 , 2 , ,i i i in i na a a a i s? ???事實上 ，與向量組（ 5）相對應的齊次線性方程組為 （ 6） ????????????????????????????00001212111221122221121221111ssnnnssnnnssssxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa?????? ? 顯然（ 6）的解全是（ 4）的解， ? 如果（ 4）只有零解，則（ 6）也只有零解 ? 這個結論可以推廣到添加幾個分量上去 如果一個向量組的一部分線性相關，那么這個 向量組線性相關；換句話說，如果一向量組線 性無關，那么它的任一個非空的部分組也線性 無關。 ? 任何一個包含零向量的向量組必線性相關。 ? 如任一 n維向量 都是向量組 的一個線性組合 ? 向量組 稱為 n維單位 向量組 . 12, , , s? ? ?),( 21 naaa ???nnaaa ???? ???? ?2211n??? , 21 ????????????)1,0,0()0,1,0()0.,0,1(21?????n?