【正文】 1 1 u11 u12 u13 … u 1n u22 u23 … u 2n … un1n u(n1)n unn = … … … … a ann L U n1 an3 … a11 a12 a13 … a 1n a21 a22 a23 … a 2n a31 a32 a33 … a3n an2 A ? ?ijjjjiiiiijiauuullllULj????????????????????????????000,0,1,213211?????第 j個分量 第 i個分量 ? ?? ?? ?????nkjikkjikkjikij ulula1,m a x1根據(jù)矩陣乘法及相等的定義 ,有 niulululanjuulululaink kkikkikijjnk kkjkkjkj,2,2,11111111111111111111?????????????????? ?? ?? ?? ?得公式 u1j=a1j j=1,2,…,n li1=ai1 / u11 i=2,3,…,n iiikkijknkikkijkkijkjiijikkjiknkikkjikkjkijululululauulululajiji?????????????????? ??? ???? ???? ?111 1111 11, 有時當 1?iil),3,2(),1( ),1,( ),3,2( ),2,1( 1111111111nknkiauulalnkkjaulauniualnjauD o o l i t t l eikkkkmmkimikikkjkmmjkmkjkjiijj????????????????????????????????分解公式在計算機程序中常常用這種方法解線性代數(shù)方程組。 U下三角 , L 為單位下三角陣（對角元全為 1）， U為上三角陣，則稱 LUA ? 為 Doolittle分解 。提高數(shù)值穩(wěn)定性等 . 假定我們能把矩陣 A寫成下列兩個矩陣相乘的形式： A=LU 其中 L為下三角矩陣 ， U為上三角矩陣 。所以????????????????0121332311A?? 23 21 rr ????????????02/112/1003/2022/203/1023/51? 理解 完全主元素消去法 ? 會用 列主元素消去法 解方程組； P98 、 、 （改為用 列主高斯約當法解） 作業(yè) : 列主元素消去法 列主元高斯 —約當 （ Gauss –Jordan)消去法 會用 列主元高斯 —約當 （ Gauss –Jordan)消去法求矩陣的逆矩陣 。 例 、 （ P81） 例 6 用列主元 GJ消去法求 。解即 消去法 bAxbxA JG ???? 1?? ???優(yōu)點 ： 缺點 ： 約當消去法。則 TA ??1不用回代 ， 將 A化為單位矩陣 ， 則解為常數(shù)項列 。計算量較大，大約是 )2/( 3nO因此，可以用來求逆矩陣。且 ),2,1( kinibmbb kikii ???? ?，kkkk am /1? （ 4） 計算主行 （ 主元素所在行 ） )(),1,( kkkjkjkkkjkj aaankkjmaa ????? ?有則均已完成即上述過程完成后 ,2,1, nk ?????????????????? ?? ??nnnnbbbbAbA111],[],[21)1()1(????步。 缺點： 既消元；又回代 。 修正方法： 消元 ； 回代 。 回代計算解： ??????????123xxx高斯選主元消去法的步驟： ??????????????2226][ bA?，注 ： 該解若取兩位有效數(shù)字 ， 則與真解完全相同 。j=k,… ,n)中 ,找出絕對值最大者 ,例如 ∣ a ∣=max∣a ∣ 再交換第 k,p兩個方程和第 k,q兩個未知量的次序 ,使 a 成為主元 . 稱這個過程為 完全選主元 . 不論是哪種方式選出主元 ,而后再按上面介紹的計算步驟進行消去的計算 ,一般都稱為 選主元的高斯消去法 .在實際計算中 ,常用按列選主元的高斯消去法 . (k1) (k1) pk (k1) ik k≦i≦n (k1) pq (k1) ij k≦i,j≦n (k1) ij (k1) pq 例 ， （ P78） 例 1 用列主元素消去法解方程組 分析： 由精確解看出有兩位有效數(shù)字，因此，用 4位浮點數(shù)進 ?????????????????021313222226321321321xxxxxxxxx。 167。以后每一步考慮子列 中 最大的 aik 為主元。 ? ? 標度化列主元消去法 /* Scaled Partial Pivoting */ 對每一行計算 。 例： ?????? ?2111110 91,1 12 ??? xx??????? 110211??????? ? 11102119? 注 ： 列主元法沒有全主元法穩(wěn)定。且此時 1?kim列主元消去法， 設已完成第 1步 ~第 k1步計算 ， 得到與原方程 組 等價的方程組 ，其中)()( kk bxA ?? ??????????????????????)()()()()()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11)()(],[nnknnknkkknknkkknnkkbaabaabaabaaabA?????????方框內(nèi)為第 k步選主元素區(qū)域 。 ?????????????????????????????????????nnnnnnbbbyyyaaaaaa?????212122211211經(jīng)過上述過程 ， 方程組約化為： 。列與第第交換時當 kkkk jkbAkj ),(, )()( ???ija),1( nkibmb kiki ???? 二 回代求解 ： 調(diào)換后的次序。 b?[A， ]約化為 : b???????????????????????nnnnkkknkknkkbaabaababaaabAbA?????????222111211)()(],[],[第 k步的步驟： 。元素仍記為且兩未知量，并作記錄， iij babA , ?使, 11 ji選主元：)1(行元素，行與第第交換時即當交換行列 11 1),(,1,)2( ibAi ??（ 3） 消元計算： ，),3,2(1111 niaam ii ???，),3,2(1111 niama ii ??? ?ib列元素。 ?????? ?? ?),( 11bA ?完全主元素消去法 一 選主元消元法： 。 例子說明 ， 在采用高斯消去法解方程組時 ， 應 。 解法 2 用行變換的高斯消去法 . 消元： ?????? ? ???1112 rr)( 111121 ?? ????m??????? 。 精確到 10位真解： Tx )7 0 0 0 0 0 0 0 0 ,2 0 0 0 0 0 0 0 0 (* ??????? ?? ?),( 11bA ?解法 1（ 高斯消去法 ） 消元： 121121103 3 3 3 3 3 3 3 3 1???? ?m ???1舍去或著說被 “ 吃 ” 舍去或著說被 “ 吃 ” 12103 3 3 3 3 3 3 3 3 ????????? ?? ?0 1112103 3 3 3 3 3 3 3 3 ?? 12102 3 3 3 3 3 3 3 3 ??計算解： 。 167。個方程）第個方程）做（第解3,21(i11/1/21/2/01,3111313111212111??????????????????imaamaamani1,1,11131263261)123()23(13/3333263211/1/,01032