【正文】 ???????????????6745150710623321xxx?????????????6515707104623?????????????6515462370710?解 ：第一列中絕對(duì)值最大是 10，取 10為主元 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 第二列的后兩個(gè)數(shù)中選出主元 ????????????70710?????????? ?70710x3=x2=()/=1 x1=(7+7x20x3)/10=0 x1=0 x2=1 x3=1 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 列主元矩陣的三角分解： 2)110 32( EEE ???3)11053( EEE ??21 EE ???????????????5150710623A???????????????51562307101 APA解： 交換行變換 ?????????? ???0710111 APFAP例： 對(duì)矩陣 A做列主元三角分解： ???????????1000010101P?????????????100100131211mmF《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ???????????0101000012P????????????10010001322mF3) ( EEE ?????????????????071011211 APFPAPF32 EE ??????????? ??07101122 APFPF則列主元的 Gauss變換可記為 A(2)=F2 ??????????????????????? ??0 0 0 0 5 0 0 0 7 0 0 4 7 0 （ A/b） = 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?????????? ??6 8 7 6 5 0 0 0 7 0 0 4 7 0 ?其中， m21= m31= m32= ?解為 x1=， x2=， x3= ?(x1*=， x2*=， x3*=) 與方法一相比，此解顯然要精確得多。 Gauss列主元素消元法 ?????????????????????????????????321xxx?例： 求解方程組 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? （用四位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算，精確解舍入到 4位有效數(shù)字為： x1*=,x2*=,x3*=） 0. 00 1 2. 00 0 3. 00 0 1. 00 01. 00 0 3. 71 2 4. 62 3 2. 00 02. 00 0 1. 07 2 5. 64 3 3. 00 0??????????????????20226006400101002300520220解： 《方法一》 Gauss消元法 （ A/b） = 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 其中， m21= m31= m32=4001/2022= ? 解為 x1=， x2=， x3= ? (x1*=， x2*=， x3*=) ? 顯然，此解并不準(zhǔn)確。 （ U 是上三角矩陣，用回代算法） 記 UX = Y ， LY = b ，則求解方程組分兩步進(jìn)行： 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 基本思想： Gauss消元法中，若主元 akk(k) 太小會(huì)使誤差增大，故應(yīng)避免采用絕對(duì)值小的元素作主元。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 例 對(duì)矩陣 1 1 10 4 12 2 1A?????????????作 LU分解。 重復(fù)該過程，最后得 )1(1221??? ?nnn AALLLL ?)1(1221??? ?nnn bbLLLL ?記 U=A(n1)，則 LUULLLA n ?? ? ??? 1 11211 ?其中 ?????????????1112121nnmmmL???《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 定理： 設(shè) A為 n階矩陣，若 A的順序主子式 Di ≠0（ i=1,2,… n1），則 A可分解為一個(gè)單位下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣 U的乘積，且這種分解是唯一的。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 推論 : 如果 A的順序主子式 Dk ≠ 0 (k=1,n1)的充分必要條件是矩陣 A的各階順序主子式不為零。 ”： n 故總工作量為： [(n+1)(n1)] n!+n 如當(dāng) n=6時(shí) , Gauss消元法工作量為 106 ；而克萊姆法則求解工作量為 25206?！保旱?k步， nk次，共 (n1)+(n2)+……+1= n(n1)/2 ?“”：第 k步， (nk)(nk+1)次，共 (n1)n+(n2)(n1)+……+1 2= (n3n)/3 ?總工作量： S1=n(n1)/2+ (n3n)/3 ?回代過程： ?“247。 其系數(shù)增廣矩陣變?yōu)椋? 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ???????????????)()()()()()()()()()(3434423234233121241231221141312113babaabaaabaaaaA)0( )2(33 ?a第三輪消元： ?計(jì)算 : m43=a43(2)/a33(2) ?用 m43乘矩陣第三行后加到矩陣第四行 。 其系數(shù)增廣矩陣變?yōu)椋? 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ???????????????)()()()()()()()()()()(2424424323234233121241231221141312112baabaabaaabaaaaA)0( )1(22 ?a第二輪消元： 計(jì)算 2個(gè)數(shù)： [m32 m42]T = [a32(1) a42(1)]T / a22(1) ? 用 m32乘矩陣第二行后加到矩陣第三行 。 ?用 m31乘矩陣第一行后加到矩陣第三行 。 分兩步： ?第一步 : 消元過程 ，將方程組消元化為等價(jià)的上三角形方程組 。數(shù)值方法分兩類： ?1. 直接法 ?2. 迭代法 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 Gauss消元法 ? 第二步 : 回代過程 ， 解上三角形方程組，得原方程組的解。xn=Dn/D， 結(jié)束。,n， 用 b替換 A的第 k列數(shù)據(jù)，并計(jì)算替換后矩陣的行列式值 Dk； （ 4） 計(jì)算并輸出 x1 = D1 / D， x2 = D2 / D， 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 對(duì)一般線性方程組 : A x = b, 其中 ?????????????nnnnnnaaaaaaaaaA???????212222111211?????????????nbbbb?21 12nxxxx?????????????由以前所學(xué)內(nèi)容知，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 A行列式不為 0時(shí)，即 A非奇異時(shí)，方程組存在唯一解，可根據(jù)Cramer法則求解。第三章 解線性方程組的直接法 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 第三章 解線性方程組的直接法 ? 引言 ? Gauss消元法 ? 列主元素消元法 ? 矩陣三角分解法 ? 向量和矩陣的范數(shù) ? 誤差分析 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 引言 ? 小行星軌道問題： 天文學(xué)家要確定一小行星的軌道，在軌道平面建立以太陽為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系。在坐標(biāo)軸上取天文測(cè)量單位 (一天文單位為地球到太陽的平均距離： 9300萬英里，約 )，對(duì)小行星作 5次觀察，測(cè)得軌道上 5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如下： x y 橢圓的一般方程 : a1x2 + a2xy + a3y2 + a4x + a5y + 1 = 0 將數(shù)據(jù)逐個(gè)代入，可得五個(gè)方程的方程組，求解該線性方程組即可得行星軌道方程。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 其算法設(shè)計(jì)如下： （ 1） 輸入系數(shù)矩陣 A和右端向量 b； （ 2）計(jì)算系數(shù)矩陣 A的行列式值 D，如果 D=0，則輸出錯(cuò)誤信息，結(jié)束，否則進(jìn)行第 (3)步； （ 3） 對(duì) k=1,2, ?但 Cramer法則只適用于低階方程組，高階方程組工作量太大，故一般用數(shù)值方法求解。 基本思想： 逐步消去未知元，將方程組化為與其等價(jià)的上三角方程組求解。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ????????????????? )1()1()1(2)1(22)1(2211212111nnnnnnnnnnbxabxaxabxaxaxa???????Gauss消元的目的： 原始方程組 約化方程組 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 消元過程 (化一般方程組為上三角方程組 ) ???????????????????????4444343242141343433323213124243232221211414313212111bx