【文章內(nèi)容簡介】 , 1 ??? APPP 使則存在可逆陣 .?? PAP則? ? ., 21 npppPP ??用其列向量表示為把? ? ? ??????????????nnn ppppppA??????212121 ,,即? ?., 2211 nn ppp ??? ??? ? ? ?nn ApApAppppA ,, 2121 ?? ??? ?nn ppp ??? , 2211 ??? ? .,2,1 nipAp iii ??? ?于是有.,的特征向量的對應(yīng)于特征值就是的列向量而的特征值是可見iiiApPA??,可逆又 P .0?? P., 21 線性無關(guān)nppp ??.立反推回去即得充分性成?. 。 ., 1的特征值的對角線上的元素是對角矩陣作為列構(gòu)成個線性無關(guān)的特征向量的由陣的最簡單形式為對角矩的滿足可見AnAPBBAPP???注意 P與 ?的對應(yīng)寫法 ! 結(jié)論 1. 若 n階矩陣 A有 n個互不相等的特征值 , 則 A與對角陣相似 . 說明 如果 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能 對角化，但如果能找到 個線性無關(guān)的特征向量， 還是能對角化． AAnnA結(jié)論 2. .重?cái)?shù)的幾何重?cái)?shù)等于其代數(shù)的每個特征值與對角陣相似階矩陣iAAn??結(jié)論 3. 實(shí)對稱矩陣一定可對角化 . ., ,1,2,1,0 .2BEABnnAnex??求相似與且方陣個特征值有階方陣設(shè) ?Solution. !321 nnBE ????? ?ex3. 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣？ ???????????????242422221)1( A???????????????201335212)2( ASolution. AE ??由)1(? ? ? ?72 2 ??? ?? 0?242422221???????????.7,2 321 ???? ???得? ? 有代入將 ,0221 ???? xAE???????????????????442442221)2( AE?????????? ??000000221 213)2(3 221 ???????? AEr的幾何重?cái)?shù)為??=其代數(shù)重?cái)?shù) . 因而 A可對角化 . ? ? 有代入將 ,073 ???? xAE??????????????????????542452228)7( AE?????????? ???000110452 1)7(3 73 ??????? AEr的幾何重?cái)?shù)為? =其代數(shù)重?cái)?shù) . 201335212 )2(??????????? AE? ?31?? ?.1321 ??? ???的特征值為所以 A? ? 有代入把 ,01 ??? xAE?? .31)(3 1 代數(shù)重?cái)?shù)的幾何重?cái)?shù)為 ??????? AEr?故 不能化為對角矩陣 . A? ?????????????????101325213AE???????????000110101,163053064 .4???????????????Aex 設(shè) A能否對角化？若能對 角化 ,則求出可逆矩陣 P, .1 為對角陣使 APP ?Solution. 163053064?????????? AE?? ? ? ?21 2 ??? ??.2,1 321 ???? ???的全部特征值為所以 A? ? 0121 得方程組的系數(shù)陣為代入將 ???? xAE????????????? ????063063063)( AE???????????000000021??????????332221 2xxxxxx得基礎(chǔ)解系 ,0121?????????? ??? .1002????????????????????????????????? ?????????????10001232321xxxxx? ? ,023 得方程組的系數(shù)陣為代入將 ???? xAE??????????????????363033066)2( AE????????????000110101??????????333231xxxxxx.1113?????????? ???., 321 線性無關(guān)由于 ???? ? ,110101102, 321?????????? ???? ???P令 .200010001 1????????????? APP則有所以 可對角化 . A?????????? ?????????????1113321xxxx得基礎(chǔ)解系 注意 ? ? , , 213???????????? ???P若令111?012?100. 1???????????? APP則有00 00002?11即矩陣 P 的 列向量 和對角矩陣中 特征值 的位置 要相互對應(yīng)． ,1111321 .5????????????xxAex 設(shè) 且知 A有一特征值為 1, 求 x的 值及 A的其它特征值 , 并判斷 A是否能與對角陣相似？ Solution. .0 ,1 ??? AEA 有特征值?xxAE????????11110320 而)2)(12( ??? xx.21 2 ??? xx 或,211112321,2????????????? Ax 時(shí)當(dāng)211112321?????????????? AE)4)(1)(1( ???? ???.4,1,1 321 ????? ???特征值為.,2 可對角化時(shí)且當(dāng) Ax ? ,21111121321,21??????????????????? Ax 時(shí)當(dāng)21111121321??????????????? AE)52)(1(21 2 ??? ??.25,1,1 321 ????? ???特征值為.,21 可對角化時(shí)且當(dāng) Ax ?.,340430241 .6 100AAex 求設(shè)????????????Solution. )5)(5)(1( ????? ???? AE?.5,5,1 321 ????? ???的特征值為A.)1,2,1( ,)2,1,2( ,)0,0,1( 321???????ppp可分別求得特征向量,120210121 ????????????? P存在 .500050001 1????????????? APP使得,5152057510301 1????????????????????P而11 0 01 0 0 ???? PPA,5152057510301500050001120210121100100????????????????????????????????????????.50005015011 0 01 0 01 0 0?????????? ?The end Chapter 4(4) 實(shí)對稱矩陣的對角化 教學(xué)要求： 1. 掌握實(shí)對稱矩陣的性質(zhì) 。 2. 掌握用相似變換化實(shí)對稱矩陣為對角矩陣的 方法 . . 特征向量的性質(zhì)實(shí)對稱矩陣的特征值與一 . 實(shí)對稱矩陣的對角化二 . 特征向量的性質(zhì)實(shí)對稱矩陣的特征值與一 . Proof. ,的特征值為設(shè) A?.0, ?? xxAx ?則, 的表示用 ??共軛復(fù)數(shù)xAxA ? 則 ? ?Ax?,1的共軛向量表示 xxxxn ??????????? ?.1為對應(yīng)的特征向量???????????nxxx ?)( xxxx ?? ??? )Axx ??xxA )( ??? ? .xx ?? ??xAx ???xxxx ???? ?? )(0)( ??? xx??即 ? ?????????????nnxxxxxx ??11 而011 ???? nn xxxx ? . ?? ??., 0,0)( , 以取實(shí)向量從而對應(yīng)的特征向量可系知必有實(shí)的基礎(chǔ)解由是實(shí)系數(shù)方程組線性方程組所以齊次為實(shí)數(shù)的特征值由于對稱矩陣????AExAEAiii??? . A對應(yīng)于不同 特征值的特征 向量是正交的 . Proof. , 21222111 ???? ??? 且pAppAp, , AAA ???對稱?于是 212 pp??? ? .02121 ???? pp??,21 ?? ?? .21 正交與即 ??? pp21 App??21 )( pAp ?? 與幾何重?cái)?shù)相等 . 221 pp ??? 21 pAp ???211 )( pp ?? ? .211 pp?? ? . 實(shí)對稱矩陣的對角化二., ),( ,111的特征值是其中使則必有正交矩陣階實(shí)對稱矩陣為設(shè)Adi agAPPPnAnn????????定理 . 利用 正交矩陣 將實(shí)對稱矩陣對角化 ,其具體步驟 為： ? ? 。,0 )2( 1 ni AxAE ??? ?的特征向量求出由 ??。 )1( iA ?的特征值求。,, )3( 11 nn pp ?? 單位化得正交化將 ??).,( ),( )4( 111 nn d i a gAPPppP ?? ?? ?? ?則令利用 可逆矩陣 將實(shí)對稱矩陣對角化 ,其具體