【正文】 .,2,1, ,0 ,1),( njiji jiji ????????? ??ex1. 下列矩陣是不是正交矩陣： ,622232320021216521616121212121 )1(????????????????????????.102211403 )2(??????????Solution. 是 不是 ., .2 * 也是正交矩陣則為正交矩陣若 AAexProof. ,為正交矩陣A? .1,1 ????? ? AAA1* ?? AAA又? ? 11** )( ?? ???? AAAAAA,A ?? ? 1???? AAAA1??? AAAA12 ?? AAA.E?. )1,1,1,1(,)1,1,1,1( .3 21為前兩列的正交矩陣求以 ?????? ??exMethod1. )1,0,0,0(,)0,0,0,1( 43 ???? ??取 ., 4321 線性無關(guān)顯然 ????正交化 , ,)1,1,1,1(11 ??? ??取 ),( ),( 1111222 ??????? ??則 ,)1,1,1,1( ???? ),( ),(),( ),( 222231111333 ???????????? ??? ),0,0,21,21(? ),( ),(),( ),(),( ),( 33334222241111444 ????????????????? ???? ).21,21,0,0(4 ???單位化 , ,)21,21,21,21(1 ??p ,)21,21,21,(2 ????p ,)0,0,2 2,2 2(3 ???p .)2 2,2 2,0,0(4 ???p .2202121220212102221210222121?????????????????????????? PMethod2. 則正交與設(shè) ,),( 214321 ??? xxxx????????????0043214321xxxxxxxx????????? 11111111A ???????11000011????????????44432221xxxxxxxx?????????????????????????? ???????????????11000011424321xxxxxx .)1,1,0,0(,)0,0,1,1( 43 ?????? ??取單位化 , ,)21,21,21,21(1 ??p ,)21,21,21,(2 ????p ,)0,0,2 2,2 2(3 ???p .)2 2,2 2,0,0(4 ???p .2202121220212102221210222121?????????????????????????? P . 正交變換二定義 . 若 P為正交矩陣 , 則線性變換 y=Px稱為正交變換 . 定理 . 正交變換不改變向量的長度 , 也不改變兩向量間 的內(nèi)積及夾角 . Proof. ,為正交變換設(shè) Pxy ?yyy ???, EPP ??則PxPx )( ??.xxxPxPx ??????The end Chapter 4(2) 方陣的特征值與特征向量 教學(xué)要求： 1. 理解方陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì) 。, )2( 也是正交矩陣則為正交矩陣 ABBA.))()()(( EBBBAABABAB ???????? 。Chapter 4(1) 正交矩陣與正交變換 教學(xué)要求： 1. 了解正交變換與正交矩陣的概念以及它們的 性質(zhì) . . 正交矩陣的定義與性質(zhì)一 . 正交變換二 . 正交矩陣的定義與性質(zhì)一1. 定義 . , 正交矩陣為則稱滿足階方陣若 AEAAAn ??2. 性質(zhì) 。1 )1( ??A .)1,1,( 2 ????? AAAEAA? 。 )3( 1 AAA ??? ?是正交矩陣 .)( EAA ??? 。 2. 會求方陣的特征值和特征向量 . . 義特征值與特征向量的定一 . 質(zhì)特征值與特征向量的性二 . 法特征值與特征向量的求三 . 義特征值與特征向量的定一. , , 的特征向量的對應(yīng)于特征值稱為非零向量的特征值稱為方陣這樣的數(shù)那末成立使關(guān)系式維非零列向量和如果存在數(shù)階方陣是設(shè)????AxAxAxxnnA?定義 . 注意 .,0 言的特征值問題是對方陣而特征向量 ?x . 質(zhì)特征值與特征向量的性二.)0( , .10000的特征向量的對應(yīng)于也是則的特征向量的對應(yīng)于特征值是如果??AkkpAp?Proof. ,000 pAp ??? )()( 00 ApkkpA ?? )( 00 pk ?? )( 00 kp??.00 的特征向量的對應(yīng)于是 ?Akp?. )0,( , .20212211021特征向量的的對應(yīng)于也是不同時為則的兩個特征向量的對應(yīng)于特征值是與如果??AkkpkpkApp?Proof. ,101 pAp ??? )( 2211 pkpkA ?? )()( 202101 pkpk ?? ?? )( 22110 pkpk ?? ? ,202 pAp ?? )()( 2211 ApkApk ??.02211 的特征向量的對應(yīng)于是 ?Apkpk ??推廣 : .)0,( ,012211021的特征向量的對應(yīng)于也是不同時為則非零線性組合的特征向量的對應(yīng)于是如果??AkkpkpkpkApppssss??????., , , 3.212121線性無關(guān)則向量依次是與之對應(yīng)的特征個特征值的各不相同的是方陣若mmmppppppmA??? ???Proof. 使設(shè)有常數(shù) mxxx , 21 ?.02211 ???? mm pxpxpx ?? ? ,0 2211 ???? mm pxpxpxA ?則,0 222111 ???? mmm pxpxpx ??? ?即類推之 , 有 .0222111 ???? mmkmkk pxpxpx ??? ?? ?1,2,1 ?? mk ?把上述各式合寫成矩陣形式，得 ???????????????????????????mmmmmmmpxpxpx???????22111121121111???????????????????000?于是有可逆從而該矩陣該行列式不等于不相等時當(dāng)各式列陣的行列式為范德蒙行上式等號左端的系數(shù)矩.,0, i?? ? ? ? ,0,0,0, 2211 ??? ?? mm pxpxpx? ?.,2,10 mjpx jj ???即 ,0?jp但 ? ?.,2,10 mjx j ???故., 21 線性無關(guān)所以向量組 mppp ?注意 (1) 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān) 的． (2) 屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個特征值的特征向量． (3) 矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征 值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一； 一個特征向量不能屬于不同的特征值． . 法特征值與特征向量的求三,xAx ???,)( OxAE ???, 解即上述矩陣方程有非零Ox ??也就是含有 n個未知數(shù) n個方程的方程組有非 0解 . .0??? AE? 0 212222111211??????????nnnnnnaaaaaaaaa??????????即由此可求得特征值 . 。 )( 的特征矩陣叫做 AAE ??. 0 的特征方程叫做 AAE ??? .0 )( 解的非特征向量即為 OxAE ??? ,)( OxAEi ???? 代入方程現(xiàn)將已求得的特征值 , 0 1?的解若求得一個非 的全部特征向量為則對應(yīng)于 i? ).0( 1 ?kk ? , , 0 21 ??的解若求得兩個非 的全部特征向量為則對應(yīng)于 i? ).0,( 212211 不同時為kkkk ?? ? .)( , 21 的一個基礎(chǔ)解系就是且 OxAEi ?????求特征值與特征向量的步驟 : 0。 0 )2( iλAE 的全部根求出 ??? . 0 , ,)( )3(的全部特征向量線性組合即為對應(yīng)于其非求得一個基礎(chǔ)解系代入將每個ii OxAE??? ??. 1111111111111111 .1量的全部特征值與特征向求矩陣???????????????????AexSolution. 1111111111111111????????????????? AE?)2()2( 3 ??? ?? ,0 得令 ?? AE? . 2,2 4321 為全部特征值????? ????.)2(,2)1( 1 OxAE ????? 有時當(dāng) ??????????????????????????3111131111311113)2( AE而???????????????0000110010101001????????????44434241 xxxxxxxx從而???????????? ???????????????111144321xxxxx ).0( )1,1,1,1(21 ?????? kk的全部特征向量為對應(yīng)于 ?.)2(,2)2( 432 OxAE ????? 有時當(dāng) ???????????????????????1111111111111111)2( AE而???????????? ????0000000000001111?????????????4433224321 xxxxxxxxxx從而????????????????????????????????????????????????????1001010100114324321xxxxxxx 2 的全部特征向量為對應(yīng)于 ?? ? ).0,( )( 1 ,