【正文】 即是 A 的 n 個(gè)特征值 . n??? , 21 ?證 因 就是 Λ的 n 個(gè)特征值， n??? , 21 ?由相似矩陣特征值相同定理知 它們也是 A 的 n 個(gè)特征值 . 第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 19 .,4512422421.10 yxyxA 相似，求與設(shè)方陣??????????????????????????????第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 ,2022,4511 yAyxyx ????????????? 且相似矩陣特征值相同?5,4 ?? yx yxyxxxxA483,201 0 01560151010415100104042112422421??????????????????????????定理 4 n 階矩陣 A 與對(duì)角矩陣相似（即 A 能對(duì)角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 . A對(duì)角化的條件 三、對(duì)角化方法研究 —— 求相似矩陣 P 20 證：必要性： ???? APPPA1滿足：在可逆矩陣相似，由相似定義，存與對(duì)角矩陣如果? ?, 21 npppP ??把 P 用列向量表示為 nPP 為滿秩矩陣，即秩為可逆，所以，方陣因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)充要條件，根據(jù)向量組線性無(wú)關(guān)的 nppp ?, 21????? PAPAPP 得：根據(jù)： ,1? ? ? ????????????????nnnppppppA??????212121,? ?, 2211 nn ppp ??? ??? ?nApApAp , ?21于是有 iii pAp ?? ? ?ni , ?21?而 P 的列向量 就是 A 的對(duì)應(yīng)于特征值 ip可見(jiàn) 是 A 的特征值， i?i?的特征向量 . 第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 21 充分性：如果 Ａ 有 ｎ 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則以這ｎ 個(gè)特征向量為向量組組成矩陣 Ｐ ，得：由 iii pAp ?? ? ? 即：, 2211 nn ppp ??? ??? ?nApApAp , ?21? ? ? ????????????????nnnppppppA??????212121,相似與對(duì)角矩陣。基礎(chǔ)解系至少一個(gè)向量有無(wú)窮多非零解。得解向量即為特征向量求解（對(duì)每一個(gè)，得特征值解方程對(duì)于??????????????0),)(00)),2,1(.,0,21xEAnEAREAxEAniEAAiiiiin????????????第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 22 線性無(wú)關(guān)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量第二步任務(wù)：讓每一個(gè)入下一步：（圖示如下）。個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量重特征值恰有則該，若重特征值（的是：設(shè)）結(jié)論（kkknEARkkA klkl ,)()122 ???? ?? ??，對(duì)應(yīng)的特征向量。個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，方程組的基礎(chǔ)解系恰有的秩有非零解，且解集kkEARnSRSxEA klkl???????? ?? )()(0)( ??nklll ????? ??? ??? 211 ,，nklll ????? ??? ??? 211 ,，k?第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 23 概括矩陣 A對(duì)角化的判斷路線如下： ??? APPA1對(duì)角化方陣特征向量個(gè)無(wú)關(guān)是 npppPn ),( 21 ??的特征向量特征值對(duì)應(yīng)個(gè)的是 nAppp n, 21 ?特征向量個(gè)對(duì)應(yīng)值重特征向量，對(duì)應(yīng)一個(gè)特征每一個(gè)特征值kkki?特征向量個(gè)無(wú)關(guān)有的基礎(chǔ)解系kxEAki0)( ?? ?kSRknEAR ki????)()(或?量基礎(chǔ)解系的無(wú)關(guān)特征向個(gè)求對(duì)應(yīng)解 kxEA ki 0)( ?? ?Pppp n組成求出 ),( 21 ?是否可相似對(duì)角化的值，并討論二重根，求的特征方程有一個(gè)分）設(shè)矩陣，數(shù)學(xué)一、（例題AaaA??????????????513413219041?? EAA ?的特征多項(xiàng)式為解：第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 24 ??????????????????????????????????513410)2(25134102251341321aaa)3188)(2()]1(3)5)(3) [ (2(511331001)2(51341011)2(2aaaa?????????????????????????????????????。有一類 我們熟悉的矩陣叫對(duì)稱矩陣， 對(duì)稱矩陣不但能保證相似化， 而且保證 k重根有 k個(gè)無(wú)關(guān)特征向量， 四、對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 ? ?njiaa jiij ,2,1, ???那么 A 稱為 對(duì)稱矩陣 .如對(duì)稱矩陣的元素全是實(shí)數(shù)，則稱為 實(shí)對(duì)稱矩陣 概念回顧：設(shè) A 為 n 階方陣，若滿足 ,AAT ? 即 （ 1）定理 5 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) . （ 2）定理 6 設(shè) 是 對(duì)稱矩陣 A 的兩個(gè)特征值 ， 21,??21, pp 是對(duì)應(yīng)的 特征向量， 若 ， 21 ?? ?則 與 正交 . 1p 2p第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 28 證 ,111 App ?? ,222 App ??TT App )()( 111 ???Tp11? TAp1? Ap T1?211 pp T? 21 App T? 221 pp T ?? 212 pp T?? 02121 ?? ppT)( ??因 ， 21 ?? ? 021 ?pp T有 1p 2p所以 與 正交 . ： 定理 7: 設(shè) A 為 n 階對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣 P ， 其中 Λ是以 A 的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣 . 1P AP使 ?T= P A P ?該結(jié)論與定理不予證明，只作為可對(duì)角化的結(jié)論應(yīng)用 第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 結(jié)論 : 設(shè) A 為 n 階 對(duì)稱矩陣 ， λ是 A 的特征方程的 k 重根， 則矩陣 的秩 R =n－ k, EA ?? ? ?EA ??從而對(duì)應(yīng)特征值 λ恰有 k個(gè) 線性無(wú)關(guān)的特征向量 . 29 第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 ： （ 1）求出 A 的全部互不相等的特征值 12, , , s? ? ?12, , , sk k k 12( , , )sk k k n? ? ? ?它們的重?cái)?shù)分別為 : 。個(gè)基礎(chǔ)解系的無(wú)關(guān)向量時(shí)，對(duì)）當(dāng)（nkk413 ?? ?npppPPn,521 ??即：矩陣組成對(duì)角化的相似變換個(gè)線性無(wú)關(guān)的單位向量）（30 ?????????????????nTnnAPPAPPppp?????????2112121,6對(duì)角化的對(duì)角矩陣：得到，的順序，排列）對(duì)照（第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 31 第十四講：對(duì)稱矩陣對(duì)角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 本次課講第五章第 5節(jié)，下次課講第 6,7節(jié) 下次上課時(shí)交作業(yè) P45— P46，P49P50 32 ??? APPA1對(duì)角化方陣特征向量個(gè)無(wú)關(guān)是 npppPn ),( 21 ??的特征向量特征值對(duì)應(yīng)個(gè)的是 nAppp n, 21 ?特征向量個(gè)對(duì)應(yīng)值重特征向量，對(duì)應(yīng)一個(gè)特征每一個(gè)特征值kkki?特征向量個(gè)無(wú)關(guān)有的基礎(chǔ)解系kxEAki0)( ?? ?kSRknEAR ki????)()(或?量基礎(chǔ)解系的無(wú)關(guān)特征向個(gè)求對(duì)應(yīng)解 kxEA ki 0)( ?? ?Pppp n組成求出 ),( 21 ?對(duì)稱矩陣 對(duì)角化 求正交 矩陣 P 基礎(chǔ)解系即 特征向量 正交化并 單位化 i?求特征值0) ?? xEAk i?（ 重根解方程，矩陣成正交個(gè)規(guī)范正交特征向量組法求出特別地：通過(guò)對(duì)角化方),( 21 npppPn?????????????????? ?nT APPAPP????211使得對(duì)應(yīng)的特征向量是其中 iip ?第十四講：對(duì)稱矩陣對(duì)角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 33 得特征值 1 2 32 , 1 .? ? ?? ? ? ?解 : 111111AE??????? ? ? ??22( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1) 當(dāng) 時(shí)， 1 2? ?? 1232 1 1 01 2 1 0 ,1 1 2 0xxx?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2) ?( 2 ) 0A + E x 得 2 1 11 2 11 1 2??????????1 0 10 1 1 ,000????????得基礎(chǔ)解系為 1111??????????????r例 1 設(shè) 求一個(gè)正交矩陣 P, 使 為對(duì)角矩陣 . 0 1 11 0 1 ,1 1 0A?????????????? APP 1第十四講：對(duì)稱矩陣對(duì)角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 34 當(dāng) 時(shí)， 23 1????由 ?( ) 0A E x 得 r 1 1 10 0 0 ,0 0 0?????????1 1 11 1 11 1 1?????????????A E =其基礎(chǔ)解系為 : 211,0?????????????10.1?????????????1 1 1110 1 1 .221 0 2?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?將 正交化 ： 23,?? 2 ,?? ? ?令 ? ?233222