【正文】 xxxxxxxxx 的通解。 15. t 取何值時(shí)，向量組 ? ? ? ? ? ?taaa ,0,3,2,2,2,3,2,1 321 ??? 線性無(wú)關(guān)。 五 、 證明題 （ 6 分） 17. 設(shè) BA, 是 n 階方陣，已知 0?B ， IA? 可逆，且 ? ? ? ?TIBIA ??? ?1 ，求證： A 可逆，并求出 1?A 的表達(dá)式。 B. ? ?3ba? 。 D. ? ?2ab? . 2. 設(shè) n 階方陣 ,ABC 滿足關(guān)系式 ABC E? ，其中 E 是 n 階單位陣，則必有 （ ） A. ACBE? ； B. CBA E? ； C. BAC E? ； D. BCA E? . 3. 對(duì)于齊次線性方程組，以下說(shuō)法正確的是（ ） A. 若 0AX? 有解，則必有 0A? ； B. 若 0AX? 無(wú)解，則必有 0A? ； C. 若 0AX? 有非零解，則必有 0A? ； D. 若 0AX? 唯有零解，則必有 0A? 。 5. 實(shí)二次型 ? ? 23222121321 4, xxxxtxxxxf ???? 秩為 2，則 ?t （） . A. 1 。 C. 3 。 14．已知向量組 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41 , 2 , 2 , 3 , 6 , 6 , 1 , , 0 , 3 , 0 , 4 , 2T T T T? ? ? ?? ? ? ? ?，求出它的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。 四 、解答題（ 14 分） 16. 已知方陣 1 0 02 1 23 1 2A????????，求 mA 五 、 證明題 （ 6 分） 17. 設(shè)方陣 A 有一個(gè)特征值為 2?? ，證明：方陣 EAAB 22 ??? 有一個(gè)特征值為 4。 B. 等于零 。 D. 不能確定 . n 階方陣 A 有一個(gè)特征值為零，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A. 0。R A n? ； 可逆； D. A 的列向量組線性無(wú)關(guān) . 3. 設(shè) A 為 n 階方陣，若 A 與 n 階單位矩陣等價(jià)，則方程組 Ax b? 有（ ） A. 無(wú)解； B. 有唯一解； C. 有無(wú)窮多解； D. 解的情況不能確定。 5. 同階方陣 A 與 B 相似的充要條件是 （ ） A. 存在兩個(gè)可逆矩陣 P 與 Q ，使得 PAQ B? 。 C. 存在可逆矩陣 P ，使得 TP AP B? 。 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6．行列式12340 0 32 0 91 5 64 1 2aaaa中 4a 的代數(shù)余子式的值等于 。 8．當(dāng) t? 時(shí) ， 下列向量組 ? ?1 2 3( 2 , 1 , 0 ) , ( 3 , 2 , 5 ) , 1 0 , 6 ,a a a t? ? ?線性相關(guān)。 10．二次型 1 2 1 3 2 32 2 2f x x x x x x? ? ?的秩等于 。 12．設(shè)矩陣 1 1 11 1 11 1 1A??????????，矩陣 X 滿足 *12A X A X???，求 X 。 14．求線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 12 4 52 2 4x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ??的 通解。 四 、解答題（ 10 分） 16. 已知二次型 ? ? 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3, , 2f x x x x x c x x x? ? ? ?的秩為 2，求參數(shù) c ，并求正交變換，將該二次型標(biāo)準(zhǔn)化。 18. 設(shè) ,AB為 n 階方陣，且滿足 22A B E??， 0AB??，證明 AB? 不可逆。 B. ? ?? ? ? ?? ?1 11 TTTAA? ??? 。 D. ? ? 1TAA? ? . A 為 3階方陣，且 2A? ，則 AA??（ ） A. 4 B. 4； ； D. 16. 3. 已知 A 為 n 階方陣，且滿足 2 20A A E? ? ? 則必有 （ ） A. A 不可逆； B. AE? 可逆； C. AE? ； D. AE?? 。 5. 二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 3 4 2 8f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?的秩為（ ） A. 0。 C. 2。 二、填空題（每小題 3 分 ，共 15 分） 6．若三階矩陣 A 的特征值為 0， 1， 2，則 2 2A A E??值等于 。 8．若向量組 ? ?1 2 3(1 , 1 , 0) , ( 0 , 1 , 1 ) , 1 , 0 , 1a a a? ? ?，則該向量組必 。 10．二次型 2221 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2f x tx tx x x x x x x? ? ? ? ? ?正定的充要條件是 。 12．已知 1 1 1 1 2 31 1 1 , 1 2 41 1 1 0 5 1AB? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，求 32AB A? 及 TAB。 14． 已知齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 423403 2 02 2 0x x x xx x x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ??，求該方程組的通解。 四 、解答題（ 10 分） 16. 已知 100032023A???????，求 10A 。 18. 證明：二次型 Tf X AX? 在 1X? 時(shí)的最大值為 A 的最大特征值，最小值為 A的最小特征值。 B. 13? 。 D. 3. 2. 設(shè) A 為 n 階可逆矩陣 ,A 的第二行乘以 2 為矩陣 B ，則 1A? 的 ( )為 1B? . A． 第二行乘以 2 ； B. 第二列乘以 2； C． 第二行乘以 12 ； D. 第二列乘以 12 . 3. 若 ,AB都是三階可逆矩陣，則下列結(jié)論不一定正確的是 ( ). A. ? ?T TTAB B A? 。 C. ? ?* **AB B A? 。 B. 1ABA B?? 。 D. ? ?2BA E? . 5. , 4 ( ) 4 ( ) 3A B r A r B?設(shè) 為 階 方 陣 ， 且 秩 ， ＝ ，AB和 的伴隨矩陣為 AB??和 ， ( ) ( )r A B?? ?則 . A. 1； B. 2； C. 3； D. 4. 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6．00000000xyxyxyyx? 。 8．矩陣 1000 1 30 1 2A???????的逆矩陣為 ； 9．設(shè) ,AB均為三階 矩陣， 2, 3AB?? ? ,則 *2 TAB? 。 14．已知向量組 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41 , 2 , 2 , 3 , 6 , 6 , 1 , , 0 , 3 , 0 , 4 , 2T T T T? ? ? ?? ? ? ? ?，求出它的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。 五 、 證明題 （ 每小題 5 分，共 10 分 ） 17. 已知 A 是 n 階正定矩陣 ， B 是 n 階反對(duì)稱矩陣，即 TBB?? ， 判定矩陣 2AB?是否可逆，說(shuō)明理由 . 18. 設(shè) ? 為 n 維列向量，且 1T??? ，矩陣 TAE???? ，證明：行列式 | | 0A? 。 B. TA? 。 D. A? 2. 若 ,AB都是 n 階方陣，且 0B? , 0AB? ，則必有 ( ). A. 0A? 或 0B? ； B. 0AB??； C. 0AB??； D. 0A? 或 0B? . 3. ? ? ? ?R A R A b? 是非齊次線性方程組 Ax b? 有無(wú)窮多解的 ( ). A. 充分條件 。 C. 既非充分條件又非必要條件 。 B. 2A 。 D. *A . 5. 設(shè)向量組 1 2 3,? ? ? 線性無(wú)關(guān) , 234,? ? ? 線性相關(guān) ,則以下命題 中， 不一定成立的是 ( ). A. 1? 不能被 234,? ? ? 線性表示； B. 2? 不能被 1 3 4,? ? ? 線性表示； C. 4? 能被 1 2 3,? ? ? 線性表示； D. 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 線性相關(guān) . 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6． 行列式 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a b a b a ba b a b a ba b a b a b=______ ____。 8． 設(shè) *A 是 n 階方陣 A 的伴隨矩陣，行列式 2A? ，則 *2A =_____________； 9．設(shè) A是 4 3矩陣， ( ) 2RA? ， 若 1 0 20 2 00 0 3B???????， 則 ? ?RAB =_____________； 10．設(shè)方陣 1 2 42 4 24 2 1A??????? ? ?????相似于對(duì)角矩陣 54t???????, 則 t? __ 三、計(jì)算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 求行列式 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a b a b a bD a b a b a ba b a b a b? ? ?? ? ? ?? ? ?的值。 （ 1）求行列式 A 的值；（ 2）求行列式 AE? 的值。 1111 1 11 1 1111aaAaa????? ????， A 的秩為 3， 求 a 。 18. 已知 A 與 AE? 都是 n 階正定矩陣，判定 1EA?? 是否為正定矩陣，說(shuō)明理由 . 參 考 答 案 2022 級(jí)線性代數(shù)期末考試 參考答案 （ A 卷） 一、單項(xiàng)選擇（ 20 分＝ 4 分 ? 5）： D C A C C 二、填空題（ 20 分＝ 4 分 5? ）： － 3， 3a ， 任意值， ? ?1 2 3 4 T， 1k? 三、計(jì)算行列式（ 14 分）： 11．30011122331 1 1 11 1 11 0 00 0 01 0 00 0 01 0 00 0 0i iaaaaaaaaa???? 7’ 31 2 3 0 1 1()i ia a a a a???? 7’ 四、證明（ 16 分＝ 8 分 2）： 1證明： TAA? 2’ ()T T T T TB A B B A B B A B? ? ? 3’ TBAB? 也是對(duì)稱矩陣。 3’ 五、計(jì)算題（ 14 分）： 14．解： 設(shè) 2 1 1 1 1 32 1 0 ,4321 1 1AB??? ??????? ???????，則 ? ? 1T T T T T TX A B A X B X A B?? ? ? ? ? 4’ ? ?81 0 0 22 2 1 1 4 31 1 1 1 3 ~ 0 1 0 2 51 0 1 3 2 20 0 1 13TTAB?? ????????? ? ????????? 5’ 82