【文章內容簡介】 的解為 (k為任意常數). (2)。 解 對系數矩陣A進行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數). (3)。 解 對系數矩陣A進行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 . (4). 解 對系數矩陣A進行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數). 13. 求解下列非齊次線性方程組: (1)。 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=~, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程組無解. (2)。 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k為任意常數). (3)。 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數). (4). 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數). 14. 寫出一個以為通解的齊次線性方程組. 解 根據已知, 可得 , 與此等價地可以寫成 , 或 , 或 , 這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組. 15. l取何值時, 非齊次線性方程組. (1)有唯一解。 (2)無解。 (3)有無窮多個解? 解 . (1)要使方程組有唯一解, 必須R(A)=3. 因此當l185。1且l185。2時方程組有唯一解. (2)要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 故 (1l)(2+l)=0, (1l)(l+1)2185。0. 因此l=2時, 方程組無解. (3)要使方程組有有無窮多個解, 必須R(A)=R(B)3, 故 (1l)(2+l)=0, (1l)(l+1)2=0. 因此當l=1時, 方程組有無窮多個解. 16. 非齊次線性方程組當l取何值時有解？并求出它的解. 解　~. 要使方程組有解, 必須(1l)(l+2)=0, 即l=1, l=2. 當l=1時, ~, 方程組解為 或, 即 (k為任意常數). 當l=2時, ~, 方程組解為 或, 即 (k為任意常數). 17. 設. 問l為何值時, 此方程組有唯一解、無解或有無窮多解? 并在有無窮多解時求解. 解 B= ~. 要使方程組有唯一解, 必須R(A)=R(B)=3, 即必須 (1l)(10l)185。0,所以當l185。1且l185。10時, 方程組有唯一解. 要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 即必須 (1l)(10l)=0且(1l)(4l)185。0, 所以當l=10時, 方程組無解. 要使方程組有無窮多解, 必須R(A)=R(B)3, 即必須 (1l)(10l)=0且(1l)(4l)=0, 所以當l=1時, ，增廣矩陣為 B~,方程組的解為 ,或 (k1, k2為任意常數). 18. 證明R(A)=1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 證明 必要性. 由R(A)=1知A的標準形為 , 即存在可逆矩陣P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, , 0)Q1, 則a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因為a與bT是都是非零向量, 所以A是非零矩陣, 從而R(A)179。1. 因為 1163。R(A)=R(abT)163。min{R(a), R(bT)}=min{1, 1}=1, 所以R(A)=1. 19. 設A為m180。n矩陣, 證明 (1)方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m。 證明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=R(A, Em),而| Em|是矩陣(A, Em)的最高階非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m. (2)方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=n. 證明 注意, 方程YA=En有解的充分必要條件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要條件是R(AT)=n. 因此，方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=R(AT)=n. 20. 設A為m180。n矩陣, 證明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 則X=Y. 證明 由AX=AY, 得A(XY)=O. 因為R(A)=n, 由定理9, 方程A(XY)=O只有零解, 即XY=O, 也就是X=Y.第四章　向量組的線性相關性 1. 設v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1v2及3v1+2v2v3. 解 v1v2=(1, 1, 0)T(0, 1, 1)T =(10, 11, 01)T =(1, 0, 1)T. 3v1+2v2v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T (3, 4, 0)T =(3180。1+2180。03, 3180。1+2180。14, 3180。0+2180。10)T =(0, 1, 2)T. 2. 設3(a1a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T, a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, 1, 1)T. 解 由3(a1a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 =(1, 2, 3, 4)T. 3. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T。 B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, 2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 證明B組能由A組線性表示, 但A組不能由B組線性表示. 證明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B組能由A組線性表示. 由 知R(B)=2. 因為R(B)185。R(B, A), 所以A組不能由B組線性表示. 4. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T。 B: b1=(1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, 1)T, 證明A組與B組等價. 證明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 顯然在A中有二階非零子式, 故R(A)179。2, 又R(A)163。R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 從而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A組與B組等價. 5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 證明 (1) a1能由a2, a3線性表示。 (2) a4不能由a1, a2, a3線性表示. 證明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4線性無關, 故a2, a3也線性無關. 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3線性相關, 故a1能由a2, a3線性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3線性表示, 則因為a1能由a2, a3線性表示, 故a4能由a2, a3線性表示, 從而a2, a3, a4線性相關, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3線性表示. 6. 判定下列向量組是線性相關還是線性無關: (1) (1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T。 (2) (2, 3, 0)T, (1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為A. 因為 , 所以R(A)=2小于向量的個數, 從而所給向量組線性相關. (2)以所給向量為列向量的矩陣記為B. 因為 , 所以R(B)=3等于向量的個數, 從而所給向量組線性相無關. 7. 問a取什么值時下列向量組線性相關？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, 1)T, a3=(1, 1, a)T. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為A. 由 知, 當a=0、1時, R(A)3, 此時向量組線性相關. 8. 設a1, a2線性無關, a1+b, a2+b線性相關, 求向量b用a1, a2線性表示的表示式. 解 因為a1+b, a2+b線性相關, 故存在不全為零的數l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 設, 則 b=ca1(1+c)a2, c206。R. 9. 設a1, a2線性相關, b1, b2也線性相關, 問a1+b1, a2+b2是否一定線性相關？試舉例說明之. 解 不一定. 例如, 當a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(1, 1)T, b2=(0, 0)T時, 有 a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而a1+b1, a2+b2的對應分量不成比例, 是線性無關的. 10. 舉例說明下列各命題是錯誤的: (1)若向量組a1, a2, , am是線性相關的, 則a1可由a2, , am線性表示. 解 設a1=e1=(1, 0, 0, , 0), a2=a3= =am=0, 則a1, a2, , am線性相關, 但a1不能由a2, , am線性表示. (2)若有不全為0的數l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm=0成立, 則a1, a2, , am線性相關, b1, b2, , bm亦線性相關. 解 有不全為零的數l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam +l1b1+ +lmbm =0,原式可化為l1(a1+b1)+ +lm(am+bm)=0. 取a1=e1=b1, a2=e2=b2, , am=em=bm, 其中e1, e2, , em為單位坐標向量, 則上式成立, 而a1, a2, , am和b1, b2, , bm均線性無關. (3)若只有當l1, l2, , lm全為0時, 等式l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm=0才能成立, 則a1, a2, , am線性無關, b1, b2, , bm亦線性無關. 解 由于只有當l1, l2, , lm全為0時, 等式由l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm =0成立, 所以只有當l1, l2, , lm全為0時, 等式l1(a1+b1)+l2(a2+b2)+ +lm(am+bm)=0成立. 因此a1+b1, a2+b2, , am+bm線性無關. 取a1=a2= =am=0, 取b1, , bm為線性無關組, 則它們滿足以上條件, 但a1, a2, , am線性相關. (4)若a1, a2, , am線性相關, b1, b2, , bm亦線性相關, 則有不全為0的數, l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam=0, l1b1+ +lmbm=0同時成立. 解 a1=(1, 0)T, a2=(2, 0)T, b1=(0, 3)T, b2=(0, 4)T, l1a1+l2a2 =0222。l1=2l2,l1b1+l2b2 =0222。l1=(3/4)l2,222。l1=l2=0, 與題設矛盾.