[理學(xué)]線性代數(shù)電子教案(參考版)
2024-10-19 21:32本頁(yè)面
【正文】 。 推論 若 n階方陣 A與對(duì)角陣 ???????????????nB????21相似 ,則 ?1,?2,…, ?ｎ 即是 A的 n個(gè)特征值 . 定理 2 若 n階方陣 A與對(duì)角陣相似 （ 即 A能對(duì)角化 ）的充分必要條件是 A有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 。對(duì) A進(jìn)行運(yùn)算 p1A p稱為對(duì) A進(jìn)行 相似變換 ，可逆矩陣 p稱為把 A變成 B的 相似變換矩陣 。 (ii) ?1?2… ?n=|A| 例 1. 求上三角陣 ???????????????nnnnaaaaaaA???????00022211211的特征值 . 解 : ?????????nnanaanaaaEA???????002220112110)()22)(11( ????? ??? nnaaa ?則 A的特征值就是主對(duì)角線上的元素 a11,a22,…, ann . 顯然，對(duì)下三角和對(duì)角陣，都有同樣結(jié)果，即上三角、下三角和對(duì)角陣的特征值就是矩陣主對(duì)角線上的元素 . 例 2. 求 ?????????????111131111A 的特征值 . 解 ： A的特征多項(xiàng)式為 ???????????111131111EA)1()2( 2 ??? ??特征值為 ?1=1， ?2=?3=2. 二、特征向量的求法 對(duì)每個(gè)特征值 ， 求出相應(yīng)的齊次線性方程組 (A –?E)x =0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 x1,… , xs， 則矩陣A屬于特征值 ?的全部特征向量就是 k1x1+k2x2+…+ ksxs 其中 k1,k2…, ks， 是不全為零的常數(shù) . 的特征值為已知矩陣?????????????111131111A?1=1， ?2=?3=2，求特征向量 . 例 3. 系數(shù)矩陣的秩為 2， 基礎(chǔ)解系只含有 3－ 2＝ 1個(gè)解向量 ， 取為 x1=(–1,1,1)T. 于是 ， A屬于特征值?1=1的特征向量的全體可表為 k1 (?1,1,1)T ， k1是不等于零的常數(shù) . 解 ： 對(duì) ?1=1， 相應(yīng)的齊次線性方程為 0321011121110)( ?????????????????????????xxxEA x?對(duì) ?2=?3=2，相應(yīng)的齊次方程組為 0321111111111?????????????????????????xxx系數(shù)矩陣的秩為 1， 基礎(chǔ)解系含 3－ 1＝ 2個(gè)解向量 ，取為 (1,0,1)T ， (0,1,1)T . 于是 ， 矩陣 A屬于特征值 2的全部特征向量可表為 ?????????????????????11010132 kkk k3 為不全為零的常數(shù) . 例 4. 求方陣 ?????????????201034011A 的特征值和特征向量 解 ： A的特征方程為 ???????????201034011EA0)1)(2( 2 ???? ??特征值為 ?1=2， ?2= ?3=1. 對(duì) ?1=2，相應(yīng)的齊次線性方程組為 0321001014013???????????????????????xxx系數(shù)矩陣的秩為 2， 基礎(chǔ)解系只含有 3－ 2＝ 1個(gè)解向量 ， 取為 x1=(0,0,1)r . 于是 ， 屬于特征值 ?=2的特征向量的全體可表為 k1(0,0,1)r ， k1是不等于零的常數(shù) . 對(duì) ?2= ?3=1，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為 0321101024012???????????????????????xxx系數(shù)陣的秩為 2， 基礎(chǔ)解系含 1個(gè)解向量 ， 取為 x2=(1,2,－ 1)r， 則屬于特征值 1的特征向量的全體可表為 k2=(1,2,－ 1)r ， k2是不等于零的常數(shù) . 定理 設(shè) ?1,?2,…, ?m是方陣 A的 m個(gè)特征值 , p1, p2, …, pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量 ,如果 ?1,?2,…, ?m各不相等 ,則 p1, p2, …, pm線性無(wú)關(guān) . 167。) 那么稱 A為正交陣 . 定義 .若 P為正交陣 ,線性變換 y=px稱為正交變換 . 設(shè) y=px為正交變換 ,則有 |||||||| xxxpxpxyyy ????????167。 把它進(jìn)一步化成標(biāo)準(zhǔn)正交基是容易的：每一向量除以各自的長(zhǎng)度即可 ， 即 ???????????????????212101e????????????????????212102e???????????0013e定義 . 如果 n階方陣滿足 A180。2|||| , 1102111 ????????????? vuv按照施密特正交化方法，有 ,2121011021010||||1211222????????????????????????????????????????????? vvvuuv。 解 ：將 u1, u2, u3寫(xiě)成矩陣的形式 ???????????001111100它的行列式不等于零，則 u1, u2, u3是線性無(wú)關(guān)。 |||||||||||| 121122221211???????????mmmmmmmm vvvuvvvuvvvuuv ?12112||||vvvu ?2v2u1u… ……… 則 v1, v2, … , vm構(gòu)成一組正
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