[理學(xué)]線性代數(shù)課件(1)(參考版)
2025-02-24 12:43本頁(yè)面
【正文】 0?????????1?11( , )??12( , )??100????????正交化 例 1 2 31 1 10 , 1 , 1 ,0 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?33???? 1 ?2 ??13( , )?? 23( , )??11( , )?? 22( , )??111?????????100?????????試將 R3的基 1 2 3,? ? ?化為 正交向量組 . 已知 R3的一個(gè)基 010?????????001?????????1 2 3,? ? ?就是 R3的一個(gè) 正交向量組 . 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 定義 設(shè) 12, , , m? ? ?L為歐氏空間 V 的一組基， 若 ( 1 , 2 , , )i im? ? L兩兩正交， 且每一個(gè)向量均為單位向量， 稱 12, , , m? ? ?L為 V 的 標(biāo)準(zhǔn)正交基． 設(shè) 12, , , m? ? ?L為歐氏空間 V的標(biāo)準(zhǔn)正交基， 對(duì)任意的 ??V, 若 ? 在這組基下的坐標(biāo)為 12, , , ,mk k kL則有 1 1 2 2 ,mmk k k? ? ? ?? ? ? ?L用 T ( 1 , 2 , , )i im? ? L左乘等式的兩端得 T ( 1 , 2 , , ) ,ii k i m?? ?? L即在標(biāo)準(zhǔn)正交基下， 向量 ?的坐標(biāo)分別是向量 ? 與基中 向量 i? 的內(nèi)積． 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 例 設(shè) T T T1 2 3( 3 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 3 , 1 , 1 , ) , ( 1 , 1 , 3 , 1 ) ,? ? ?? ? ? ? ? ?T4 ( 5 , 3 , 3 , 1 )? ? 所生成的向量空間為 V, 求 V的一組 標(biāo)準(zhǔn)正交基 ． 解 由于向量組 1 2 3,? ? ?線性無(wú)關(guān)， 而 4 1 2 3 ,? ? ? ?? ? ?故向量組 1 2 3,? ? ?是 V的一組基， 只要將這組向量 正交化， 再單位化就可得出 V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基． 令 ? ?11 3 , 1 , 1 , 1 ,T??? ? ?? ?? ?212 2 111,??? ? ????? ? ? ? ?41 , 3 , , 1 3 , 1 , 1 , 112TT? ? ? ?? ?1 0 , 8 , 4 , 4 ,3 T??北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 ? ?? ?? ?? ?3 1 3 23 3 1 21 1 2 2,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?411 , 1 , 3 , 1 3 , 1 , 1 , 1 0 , 8 , 4 , 41 2 6T T T?? ? ? ? ? ?? ?0 , 0 , 2 , 2 .T?于是 1 2 3,? ? ?兩兩正交， 令 1111????2221????3331????則 1 2 3,? ? ?是向量空間 V的一組 標(biāo)準(zhǔn)正交基 ． ? ? T1 3 , 1 , 1 , 1 ,23??? ? T6 0 , 2 , 1 , 1 ,2??? ? T1 0 , 0 , 1 , 1 .2?。 當(dāng) ? = 0時(shí) , 有 |?| = 0. 非負(fù)性 齊次性 三角不等式 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 定理 柯西 施瓦茨 (CauchySchwarz)不等式 | ,( , ) | | | | |? ? ? ??()F ? ?對(duì)任意 ? 有 ,0?而 ()F ? ? ?,? ? ? ??? ? ?,? ? ???? ? ? ? ? ?2, 2 , ,? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?0,?b a c? 2 4? ? ?? ? 22 ( , ) 4 ( , ) ( , )? ? ? ? ? ?? ? ?0?2( , ) ( , ) ( , ) .? ? ? ? ? ???即 2 2 2( , ) | | | | .? ? ? ?? ? ? | ( , ) | | .| | |? ? ? ???分析 顯然當(dāng) ? = 0時(shí) , (?, ?) = 0, | ?| = 0, 命題成立 . 當(dāng) ? ≠ 0時(shí) , ? ?,? ? ? ? ? ???證明2( , ) ( , ) ( ) ,? ? ? ? ? ??北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 單位向量 | | 1.? ?若 0,? ? 則 | | 0,? ? 且 1||?? 是單位向量 . 定義 定義了 內(nèi)積運(yùn)算的實(shí)數(shù)域上的向量空間 稱為 歐氏空間 (Euclid空間 )． 幾何空間是歐氏空間 , Rn的子空間 在如上定義的 內(nèi)積下 , 均成為歐氏空間 . 3) 向量的夾角 (1) 引入 (2) 夾角定義 | ( , ) | | | | | ,? ? ? ??| ( , ) | 1| || |??????0 , 0????當(dāng) 時(shí)， 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 ( , )a r c c o s| | | |??????記作 ,????其中 , [0 , ] .? ? ?? ? ?定義 0 , 0????當(dāng) 時(shí) , 稱為 n維向量 ? 與 ? 的 夾角 . (3) 正交 則 零向量與任何向量都正交 . 記為 .???定義 當(dāng) (? , ? ) = 0時(shí) , 稱向量 ?與 ?正交 , 由定義知 : 若 ? = 0, 則 (? , ? ) = 0. 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 證明 例 設(shè) 1 2 32122 , 2 , 1 ,1 2 2? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
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