[理學(xué)]線性代數(shù)電子教案-文庫吧資料
2024-10-22 21:32本頁面
【正文】 交向量 ， 這個(gè)過程的具體實(shí)現(xiàn)是一些初等的運(yùn)算 . 三、正交規(guī)范基 定義 Rn的一組基 u1, u2, … , un若為正交向量組 ， 且每一 ui都是單位向量 ，則稱這組基為 正交規(guī)范基 。 |||| 1211222 vvvuuv ???。 定理 2中的正交組可通過施密特正交化方法得到 ， 具體過程如下： 設(shè) {u1, u2, … , um}是一線性無關(guān)組，令 。 例 e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1)為三維向量 ，計(jì)算易得 0 ,0 ,0 323121 ?????? eeeeee因此 {e1, e2, e3}是一組正交向量 . 正交與線性無關(guān) 定理 任一正交向量組線性無關(guān)。 對角不等式 :||x+y||?||x||+||y||. 向量的內(nèi)積滿足 許瓦茲不等式 ? ? ? ?? ?))((,2,yyxxyxyyxxyx?????或 正交 若 Rn中兩個(gè)非零向量 u、 v的內(nèi)積為零 ， 則稱 u、 v是正交的 。當(dāng) x=0時(shí) ,||x||=0。 )( )3( 為任意實(shí)數(shù)kkvuvkuvuk ?????.000 )4( ????? uuuuu 的充要條件是且二、向量的長度與向量間的夾角 定義 設(shè) 向量 u=(u1, u2, … un), 定義 u的 長度 (或 范數(shù) )為 .|||| 22221 Tn uuuuuuuu ??????? ?若 ||u||=1， 則稱 u為 單位向量 . 對 Rn中的兩個(gè)向量 ),(),( 2121 nn vvvvuuuu ?? ??定義 u與 v之間的距離為 .)()()(||||),( 2222211 nn vuvuvuvuvud??????????定義 2 對 Rn中兩個(gè)非零向量 u、 v， 定義 u、 v之間夾角 ?的余弦為 .|||| ||||c o s vu vu ???注： 夾角定義是三角形兩邊夾角這樣的概念的推廣。 )1( uvvu ???? ? ? ? 。 5－ 1 向量的內(nèi)積 一、內(nèi)積定義 1. 對 Rn中兩個(gè)向量 定義 u與 v的 內(nèi)積 為 ),(),( 2121 nn vvvvuuuu ?? ?? ，? ? T2211 uvnvnuvuvuvuvu ???????? ?注： 內(nèi)積記為 uvT, 是用矩陣乘法簡記內(nèi)積 , 它是一個(gè) 1 n矩陣 u與 n 1的矩陣 vT的乘積，其結(jié)果為一個(gè)數(shù) . 。 2 方陣的特征值與特征向量 167。 4－ 3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 定理 1. 非齊次線性方程組 Ax=b的一個(gè)解和同它對應(yīng)的齊次線性方程組 Ax=O的任一個(gè)解之和一定是方程組 Ax=b的解，反之，方程組 Ax=b的任何一個(gè)解可表為它的一個(gè)特殊解和方程組 Ax=0的一個(gè)解之和 . 定理 1告訴我們， Ax=b的解表示為： x = x p + x c 其中 xp是 Ax=b的特解， xc是 Ax=0的解 . (1) 例 5. 求方程組 x1+3x2 –x3+2x4+ 4x5 =3 2x1–x2+8 x3+7x4+2x5=9 4x1+5x2+6x3+11x4 +10x5 =15 的全解 . 解 ：首先對方程組的增廣矩陣施以行的初等變換 ????????????151011654927812342131???????????????3631070363107034211?????????????0000003631070342131???????????? ?00000073767371010342131－－－????????????????0000007376737101073071072372301－－－ (2) 因此 , 方程組的系數(shù)陣和增廣的秩都等于 r=2, r5, 所以，方程組有無限多解，且與 7307107237235431 ????? xxxx7376737105432 ???? xxxx同解 . 其中 x3, x4, x5可以任意取值 . (3) 為了求出原方程組的一個(gè)特殊解，取 x3=x4=x5=0代入 (3)得 7301 ?x732 ??x所以，原方程組的一個(gè)特殊解為 ??????????????????????00073730Px相對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系已在例 4解出 , 自然也可由 (2)直接看出 .于是 ， 原方程組的全部解是 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????100767100107372300171072300073730eee321332211kkkkkkP－x其中 k1, k2, k3為任意常數(shù) . 第五章 相似矩陣及二次型 167。 2)確定基礎(chǔ)解系 e1, …, e n–r； 3)寫出 e1, …, e n–r的線性表示式 。解的表示 線性方程組的解有三種可能性： ?無解 ； ?有一個(gè)解 ； ?有無窮多解 ；對于無窮個(gè)解，如何表示它們，是這里要解決的問題，首先討論一類特殊方程組 –––齊次線性方程組，線性方程組 (1)的常數(shù)項(xiàng)為零，即 Ax=0 (2) 稱為對應(yīng)于 (1)的齊次線性方程組 . a11x1+a12x2+…+ a1nxn=0 a21x1+a22x2+…+ a2nxn=0 …………………………… am1x1+am2x2+…+ am n xn= 0 ,212222111211???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA??????????????????????nxxxx?21 由于其增廣矩陣 )0( ?AA ?的最后一列為零 , 增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩相 等，所以一定有解，顯然 ?????
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