【正文】 545201254102,111212211????????? ，＝????????????54251第十四講：對(duì)稱矩陣對(duì)角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 53 的解）求方程（化成標(biāo)準(zhǔn)型將）求正交變換的值；（）求（的秩為分）已知二次型數(shù)一，（例0),(3,212)1(22)1()1(905232121232221?????????xxxffPyxaxxaxxaxaf由已知二次型，得：的秩，因此，矩陣二次型的秩即對(duì)應(yīng)對(duì)稱解 A)1(。即使得的合同變換也就是尋找可逆的問(wèn)題變換成標(biāo)準(zhǔn)型次型準(zhǔn)化問(wèn)題就是把一般二綜上所述，二次型的標(biāo)?????????APPyyyAPPyAxxfPyyfAxxfTTTTTTT,)(,二、將二次型標(biāo)準(zhǔn)化方法 定理 8: 任給二次型 ? ?,1,jiijnjijiij aaxxaf ?? ??總有 正交變換 ,xy? P 使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形 ,2222211 nn yyyf ??? ???? ?其中 是 f 的矩陣 A = 的特征值 . n??? , 21 ? ? ?ija第十四講：對(duì)稱矩陣對(duì)角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 45 ?????? APPAPPPAAAxxfTT1,使得：存在可逆的正交矩陣論對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱矩陣結(jié)為對(duì)稱矩陣，其中形式：證：將二次型寫成矩陣?得：：對(duì)二次型進(jìn)行正交變換 ,Pyx ?yyyAPPyyAPPyA PyPyAxxf TTTTTT ?????? ? )()()( 1證畢 2222211 nn ykykyk ???? ?PAPPAPP T 化是同一個(gè)合同對(duì)角化與相似對(duì)角問(wèn)題。 （ 8） 由（ 6）式，利用矩陣，二次形可寫成如下形式 本次課的中心議題是找到可逆變換 P，把二次型（ 5）變成標(biāo)準(zhǔn)型（ 8） ）稱作規(guī)范形則標(biāo)準(zhǔn)形（如果 8,1??ik第十四講：對(duì)稱矩陣對(duì)角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 41 ? ?nn xaxaxaxf 12121111 ???? ?? ?nn xaxaxax 22221212 ???? ??????????????? ?nnnnnn xaxaxax ???? ?2211? ?nxxx , 21 ??? ?nxxx , 21 ?????????????????????????nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa????221122221211212111??????????????nnnnnnaaaaaaaaa??????212222111211??????????????nxxx?21第十四講：對(duì)稱矩陣對(duì)角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 42 記 ,21???????????????nxxx?,212222111211??????????????nnnnnnaaaaaaaaa???????Ax則二次型可記作 Axxf T? （ 9） 其中 A 為對(duì)稱矩陣 . 任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型。個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的基礎(chǔ)解系，得到重特征值，求出方程組）對(duì)每一個(gè)（kxEAkk k 0)()1(2 ??? ?化個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量單位）將（用施密特法正交化。方程的特征值為）－（）－（）－此時(shí)特征方程為（得：＋＋－即：使得是二重特征根，則）若（622,62)128(,0318162,031882212222???????????????????aaa第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 25 第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 可對(duì)角化即個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量，對(duì)應(yīng)由，對(duì)于重根AEARnEAREA22,213)2(1)2(,000000321~32132132122???????????????????? ?????????????????????4442,)4)(232 2對(duì)于二重根，特征值為的特征多項(xiàng)式為（時(shí)，當(dāng) ???? ??Aa32,16318318822 2????????aaa得：即為完全平方，產(chǎn)生二重根，知，不是二重根，由題目已）若（ ???26 不可相似對(duì)角化征向量，故只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特即二重根 AEARnEAR42123)4(,2)4(???????????，～????????????????????????????????????????????????????????????????????000620301620620301~2320620301~1321323301~13213013234 EA?第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 27 對(duì)角化即可相似化，關(guān)鍵看是否有 n個(gè)無(wú)關(guān)特征向量， 單根能保證，即關(guān)鍵是 k重根是否有 k個(gè)無(wú)關(guān)向量。其解為，解方程組重特征值（的是證：設(shè)nknEARxEAkkAklklklkl???????????)(0)()1?????即特征向量。否則進(jìn)與對(duì)角矩陣相似個(gè)特征值不相等，則的階矩陣有推論：若量線性無(wú)關(guān)，因此的特征值對(duì)應(yīng)的特征向）由特征值性質(zhì)，不同（AnAn1。（。即，得：根據(jù)： ????? ? AAPPPAP n對(duì)角化的判定方法 個(gè)特征向量—對(duì)每一個(gè)特征值求一—個(gè)特征向量第一步任務(wù)：找 n一個(gè)特征向量每一個(gè)特征值至少存在：結(jié)論 nA1出一個(gè)特征向量每一個(gè)特征值至少可求。或的特征值只能取證明設(shè) 21, 2 AEAA ???? ? ? ? ? ? pAEAAA ，設(shè)特征向量為的特征值為，則證明：設(shè) ???? 232 ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.2,1,0)2)(1(,0,0,0,0,????????????????????????? ppAppA ?? 又則：17 定義： 設(shè) A、 B 都是 n 階矩陣，若有可逆矩陣 P , 使 ?1P A P B則稱 B 是 A 的 相似矩陣 ， 或說(shuō)矩陣 A 與 B 相似 . 對(duì) A 進(jìn)行運(yùn)算 ,APP1? 稱為 對(duì) A 進(jìn)行 相似變換 ， 可逆矩陣 P 稱為把 A 變成 B 的 相似變換矩陣 . （ 2）對(duì)角化的概念： ，簡(jiǎn)稱可對(duì)角化可對(duì)角化成則稱矩陣滿足與對(duì)角矩陣使得如果存在可逆矩陣對(duì)于任意矩陣????? AAPPAPA,1 （ 1）相似矩陣的概念 二、矩陣對(duì)角化問(wèn)題的研究 （ 1）特征值相同性 定理 3 若 n 階矩陣 A 與 B 相似 ，則 A 與 B 的特征多項(xiàng)式相 相同，從而 A 與 B 的 特征值也相同 。與階矩陣，證明為設(shè) AAnA 相同。為由于矛盾。可含有即為所求。為任意實(shí)數(shù)且不同時(shí)為，特征向量為：得基礎(chǔ)解系：0,1,0,2,0,1,121221121kkkkTT?????????0)4(,43 ???? XEBEB 為系數(shù)的齊次方程組解以對(duì)特征值 ??，～～??????????????????????????????????????0001100011102200011112210034 EB? ?0,110,1,0333321???????kkxxxx T??特征向量為；，＝則基礎(chǔ)解系：令自由變量得同解方程組：第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 15 的特征值。求矩陣，使得）求矩陣（，維列向量，且滿足：的是線性無(wú)關(guān)，階矩陣，為分）設(shè)，數(shù)學(xué)（改編自例BBABAAAA)2(。對(duì)應(yīng)于，其解有多少，（對(duì)應(yīng)于一個(gè)齊次方程組：每一個(gè)0) 0)2????xEAxEAiiii????第十三講：基與正交基，特征值與特征向量 （ 1）利用特征值計(jì)算行列式 若 n 階矩陣 A 的特征值為 n??? , 21 ?則 8 nnn aaa ??????? ?? 221121 ???1) 2) An ???? ?21（ 2） 含負(fù)指數(shù)）的特征值（是則的多項(xiàng)式是關(guān)于的特征值是矩陣若AAfA )()(,)(, ??????1) 設(shè) λ 是方陣 A 的特征值，證明 : 的特征值是 kk A?0?p證： 因 λ 是 A 的特征值， 所以存在 使得 .pAp ??于是 ? ?ApApA ?2 ? ?pA ?? ? ?Ap?? P2??ppA k k??依次類推可得 : 的特征值是即： kk A?ppAppAppApA????10,0 11???????，故：所以因?yàn)榈茫嚎赡鏁r(shí)，由證：當(dāng)??1)2 1 的特征值為，則的特征值為可逆，若 ?AAA第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對(duì)角化 9 ? ?ppAApApAAaAaAaAaaA ssmmmm）（）（特征值，即：）的（）為（則的特征值，即為若）設(shè)?????????????????? ????,3 1110 ??ppAppAppApApApAsskk ???? ???? ??????,11則由以上結(jié)論：的特征向量對(duì)應(yīng)為的特征值為證：papapapapapAapAapAaApapapAssmmmmssmmmm?????????????????????????????11101110)(ppaaaaa ssmmmm)()( 1110????????????? ???? ??的特征值（為即 ))( A???（ 3）不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān) 線性無(wú)關(guān)。1 班級(jí)：