【正文】 ?0Ax b b??的解，證明 ? 與 ? 線性無(wú)關(guān)。 13. 設(shè)非齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 414 3 5 131x x x xx x x xax x x bx? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??, 問(wèn) ,ab為何值時(shí) , 系數(shù)矩陣的秩為 2？并求此時(shí)方程組的通解． 14．已知 2X AX B??， 其中 2 1 1 2,1 1 2 1AB? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?， 求矩陣 X 。 12．已知 A 為 n 階正交矩陣，且 0A? 。 7．設(shè) ? ?3 1 0A? , 214035B???????????， 則 AB=______ 。 C. TA 。 D. 不能確定 . 4． A 是 n 階可逆矩陣，則與 A 必有相同特征值的矩陣是 ( ). A. 1A? 。 B. 必要條件 。 C. A 。 202220222 線性代數(shù)期末試卷 (B) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分， 共 15 分） 1．設(shè) A 為正交矩陣，且 1A?? ， 則 *A? ( ). A. TA 。 15. 設(shè) A 為三階矩陣，有三個(gè)不同特征值 1 2 3, , ,? ? ? 1 2 3,? ? ? 依次是屬于特征值1 2 3, , ,? ? ? 的特征向量，令 1 2 3? ? ? ?? ? ? , 若 3AA??? ， 求 A 的特征值并計(jì)算行列式 23AE? . .四 、解答題（ 10 分） 16. 設(shè)二次型 ? ? 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3, , 2 2 2 , ( 0)Tf x x x x A x ax x x bx x b? ? ? ? ? ?,其中二次型矩陣 A 的特征值之和為 1，特征值之積為 12， (1) 求 ,ab的值； (2)求正交變換，化二次型 f 為標(biāo)準(zhǔn)形。 10．設(shè) A 是 4 階矩陣，矩陣 A 的特征值是 1,2, 4,8??, 則矩陣 *A 的全部特征值是 . 三、計(jì)算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 計(jì)算行列式1 2 3 11 1 0 0 00 2 2 0 00 0 0 2 00 0 0 1 1nnnDnnn??????? 12．設(shè) 3 階方陣 AB， 滿足方程 2A B A B E? ? ? ， 試求矩陣 B 以及行列式 B ，其中 1 0 1 1 0 00 2 0 0 1 02 0 1 0 0 1AE? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，. 13. 求線性方程組1 2 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4203 2 12 3 14 3 1x x xx x x xx x x xx x x x? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??的 通解。 7．設(shè)矩陣 1 2 2233 4 5At???????， 若齊次線性方程組 0Ax? 有非零解，則數(shù)t? 。 C. 1BAB A?? 。 D. ? ?2 22AB B A? . 4． 設(shè) ,AB是 n 階方陣， ? ?2AB E? ，則可能不成立的是 ( ). A. 1AB?? 。 B. ? ? 1 11AB B A? ??? 。 C. 13 。 202220222 線性代數(shù)期末試卷 (A) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1．設(shè) A， B都是 n階方陣，且 |A|=3， |B|=1,則 1TAB? =( ). A. 3。 五 、 證明題 （ 每小題 5 分，共 10 分） 1 2 3 4, , ,a a a a ， 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1, , ,b a a b a a b a a b a a? ? ? ? ? ? ? ?，證明向量組 1 2 3 4, , ,b b b b 線性相關(guān)。 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41 , 2 , 2 , 3 , 6 , 6 , 1 , 0 , 3 , 0 , 4 , 2T T T Ta a a a? ? ? ? ?，求出它的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。 13. 問(wèn) k 取何值時(shí)，方程組 1 2 31 2 31 2 32124 5 5 1x kx xkx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ? ??（ 1）有唯一解， （ 2）有無(wú)窮多解， （ 3）無(wú)解 。 三、計(jì)算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 計(jì)算行列式1 0 0 20 3 4 00 5 6 07 0 0 8。 9．設(shè) A 是 n 階方陣， *A 是 A 的伴隨矩陣，已知 5A? ，則 *AA 的特征值為 。 7．設(shè) ? ? ? ?1 1 21 , 1 , 1 , 1 , 2 3 1 , 2 , 1 , 2? ? ?? ? ? ? ?，則 1232??? = 。 D. 3。 B. 1。 4. 設(shè) ,AB均為 n 階方陣，若 ? ? ? ?R A R B? ，則必有（ ） A. A 與 B 相似 ； B. A 與 B 等價(jià) ； C. A 與 B 合同 ； D. AB? 。 C.? ?22T TAA? 。 202220221 線性代數(shù)期末試卷 (B) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分） A 為 n 階可逆矩陣，下列運(yùn)算中正確的是 （ ） A.? ? 1 133AA? ?? 。 五 、 證明題 （ 每小題 5 分，共 10 分） 17. 設(shè) ? 是非齊次線性方程組 AX b? 的一個(gè)特解， 12, , , r? ? ? 為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 0AX? 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：向量組 12, , , , r? ? ? ? 線性無(wú)關(guān)。 1 1 11 0 10 1 2A???????? 求 1A? 。 13. 問(wèn) ,ab取何值時(shí)，向量 ? ?1,2, Tb?? 可由向量組 ? ?1 1,1,2 T? ? ， ? ?2 2,3,3 T? ? ，? ?3 3,6, Ta? ? （ 1）唯一的線性表示， （ 2）無(wú)窮多的線性表示， （ 3）不能線性表示 。 三、計(jì)算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 若1 1 11 2 1()11xxfxnx????，求 (0)f 。 9 ．設(shè) A 是 三 階 方 陣 ， *A 是 A 的 伴 隨 矩 陣 ， 已 知 12A? ，則? ?1 *32AA? ? = 。 7．若 2?? 是可逆方陣 A 的一個(gè)特征值，則方陣 1212A???????必有一個(gè)特征值為 。 D. ? ? ? ?R A R B? 。 B. 存在可逆矩陣 P ，使得 1P AP B? ? 。 4. 設(shè) ,AB為三階方陣，若 A 可逆， ? ? 2RB? ，則 ? ?R AB ? （ ） A. 0 ； B. 1； C. 2 ； D. 3 。A? B. ? ? 。 C. 小于零 。 202220221 年秋線性代數(shù)期末試卷 (A) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分） A 中有 2nn? 個(gè)以上元素為零，則 A 的值為（ ） 。 121121,1102??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?。 D. 2 . 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6．設(shè) A 為 33? 矩陣，且 A ＝ 2，則 ?*AA ； 7．設(shè)矩陣 0 2 0003400A???????，則 1A?? 8．設(shè)矩陣 1 1 02 1 13 0 1A????????，則齊次線性方程組 0AX? 的自由向量的個(gè)數(shù)為 個(gè) ； 9．矩陣1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7A????? ????，則 A 的秩為 10．實(shí)二次 型 ? ? 22212121 2, txxxxxxf ??? 正定，則 t 應(yīng)滿足不等式 三、計(jì)算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 計(jì)算行列式1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1xxDyy????? 12．解矩陣方程 1 0 0 3 0 11 2 01 2 10 2 3X?? ????? ?????? 13. 求線性方程組??????????????????????13413212302432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx的通解。 B. 4 。 4. 已知 ? ? ? ? ? ?1 2 32 , 6 , 1 2 , 4 , 2 , 1 , 2 , 1 , 1 , 3 , 6 , 2 ,T T T? ? ?? ? ? ? ? ? ?4 3, 5,10, 2 ,T? ? ? ?5 2,1, 2,10 T? ?? ，則該向量組得秩為 （ ） A. 2； B. 1； C. 4； D. 3。 C. ? ?3ab? 。 202220222 年 線性代數(shù)期末試卷 (B) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 221 1 1a ab ba a b b??（ ） A. ? ?3ab? 。 . 四 、解答題（ 14 分） 16. 已知二次型 ? ? 32232221321 2334, xxxxxxxxf ???? ，求 1．二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣 A ， 2．求正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形， 3．問(wèn)該二次型是否正定。 14．設(shè)矩陣 1 2 12 3 1 041aAab????????的秩為 2，求 ba, 。 D. 3 . 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6．設(shè) A 為 33? 矩陣， B 為 44? 矩陣，且 A ＝ 1， 2?B ，則 ?AB 7．設(shè)矩陣 1 1 22 1 2433A?????? ? ? ???，則 ? ?1A ?? ? 8．矩陣1 2 1 30 0 1 22 4 1 81 2 0 0A?????? ?????的秩＝ 9．若 21,?? 線性無(wú)關(guān)，而 321 , ??? 線性相關(guān)，則向量組 321 3,2, ??? 的最大無(wú)關(guān)組為 10．設(shè) A 為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣， T)3,1,1(1 ?? 與 Ta),5,4(2 ?? 分別屬于 A 的相異特征值為 12??， 的特征向量，則 ?a 三、計(jì)算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 計(jì)算行列式2 1 5 11 3 0 60 2 1 21 4 7 6D?????? 12．解矩陣方程 XBAX ?? ,其中?????????????????????????021531201,201301012BA 。 B. 1 。 4. 已知 12, , , n? ? ? 線性無(wú)關(guān)，則（ ） A. 1 2 2 3 1, , , nn? ? ? ? ? ??? ? ?必線性無(wú)關(guān)； B. 若 n 為奇數(shù)，則必有 1 2 2 3 1 1, , , ,n n n? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?線性相關(guān) ； C. 若 n 為偶數(shù)，則必有 1 2 2 3 1 1, , , ,n n n? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?線性相關(guān) ； D. 以上都不對(duì)。R AB r r?? D. 12( ) m in( , )。R AB r r?? B. 12( ) 。 D. 0AB??. 2. 關(guān)于矩陣下列說(shuō)法正確的是（ ） A. 若 A 可逆，則 A 與任何矩陣可交換， 。 B. 0AB?