[理學(xué)]線性代數(shù)課件(1)-文庫(kù)吧資料
2025-02-27 12:43本頁(yè)面
【正文】 ?則 1 2 3,? ? ?兩兩正交． 由于 1 2 1 3 2 3( , ) 0 , ( , ) 0 , ( , ) 0 ,? ? ? ? ? ?? ? ?所以 1 2 3,? ? ?兩兩正交． 4) 正交矩陣 定義 若 n階矩陣 A, 滿足 ,TA A E?則稱 A為 正交矩陣 . 正交矩陣的性質(zhì) : 1A?1.??● n階正交矩陣 A可逆 , 且 ● n階正交矩陣 A的行列式 |A| ● n階正交矩陣 A的 行列 具有如下性質(zhì) : .TA?北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 例 證明 ,TA A E?.E?12TTTn???????????????? ?12, , , n? ? ?? ?12, , , n? ? ?? ，Ti j i j? ? ???????1 , ij?當(dāng)0 , ij?當(dāng) i j n?( , 1 , 2 , )即方陣 A為正交矩陣的 充要條件 為 A的 列向量組都是 單位向量且兩兩正交 . 組都 是單位向量且兩兩正交 ． 方陣 A為正交矩陣 的 充要條件 是 A的 列 (行 )向量 設(shè) A 由 得 ???????11T?? 12T?? 1 T n??21T?? 22T?? 2 T n??1Tn?? 2Tn?? Tnn??北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 (1) 正交向量組的定義 是一組 非零 的 n 維向量 , 12: , , , mA ? ? ?12: , , , mA ? ? ?5) 正交向量組 則稱向量組 為 正交向量組 . 設(shè) 定義 若 i≠j, 都有 ?i與 ?j正交 , 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 正交向量組必線性無(wú)關(guān) . (2) 正交向量組的性質(zhì) 定理 證明 12: , , , rA ? ? ?12, , , r? ? ? ,1 1 2 2 0,rr? ? ? ? ? ?? ? ? ?兩邊與 i?1 1 2 2( , ) ( , 0 ) ,i r r i? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?11( , )i? ? ? ??( , ) 0 ,i i i? ? ? ?所 以 2,)( | | ,0iii ????? ? 0i? ?因 為0 ,i?? ? 12 . 0 r? ? ?? ? ? ?12, , , r? ? ?故作內(nèi)積 ( , )i i i? ? ? ( , ) 0r i r? ? ?? ? ?1 , 2 , , .ir?設(shè) 為正交向量組 , 并設(shè)有數(shù) 使得 線性無(wú)關(guān) . 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 (3) 標(biāo)準(zhǔn)正交基 (規(guī)范正交基 ) 12,ee12, , , re e e, re定義 設(shè) ()nVR?是向量空間 V 的一個(gè)基 , 若 12, , , re e e是兩兩正交 , 且都是單位向量 , 則稱 是向量空間 V的 標(biāo)準(zhǔn)正交基 或 規(guī)范正交基 . (1) 標(biāo)準(zhǔn)正交基唯一嗎 (2) 引入標(biāo)準(zhǔn)正交基的作用是什么 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 6) 施密特正交化 求規(guī)范正交基的方法 12, , , r? ? ?r??? , 21 ?正交化 單位化 r??? , 21 ?施密特正 交化方法 12, , , i? ? ?12, , , i? ? ?12, , , r? ? ?1212 , , ,| | | | | |rrre e e? ? ?? ? ?? ? ?12, , , re e e重點(diǎn) (1 )ir??設(shè) 是向量空間 V的一個(gè) 基 , 為正交向量組 與 等價(jià) 是向量空間 V的一個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)正交基 . 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 定理 若向量組 12, , , r? ? ?線性無(wú)關(guān) , 向量組 則存在正交 12, , , ,r? ? ?使得向量組 12, , , i? ? ?與向量組 12, , , i? ? ?等價(jià) ( 1 , 2 , , ) .ir?證明 取 11???? ?122 2 111( , ) ,??? ? ?????說 明 ?????12,??12,??12,??2 2 1k? ? ???設(shè)120 ( , )???由1 2 1 1( , ) ( , ) ,k? ? ? ???1211( , )( , )k????? ? ?1?12,??可由 線性表示 12,??可由 線性表示 12,?? 12,??與 等價(jià) 正交 分析 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 11???? ?122 2 111( , ) ,??? ? ?????? ?? ?? ?? ?1 3 2 33 3 1 21 1 2 2,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?3 3 1 1 2 2kk? ? ? ?? ? ?同 理 設(shè)? ?3 1 3 2( , ) 0 , 0? ? ? ???由 ,? ?? ?? ?? ?1 3 2 3121 1 2 2,kk? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?說 明 ?????1 2 3,? ? ?1 2 3,? ? ?1 2 3,? ? ?1 2 3,? ? ?可由 線性表示 1 2 3,? ? ?可由 線性表示 1 2 3,? ? ? 1 2 3,? ? ?與 等價(jià) 正交 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 11,???? ?122 2 111( , ) ,??? ? ?????? ?? ?? ?? ?1 3 2 33 3 1 21 1 2 2,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?1 , r??1 r? ??r? 1?? 2?? ??r? ?1( , )r?? 2( ,)r? ?11( , )??
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