【正文】 畫出該系統(tǒng)的根軌跡證明上述結(jié)論。 閉環(huán)臨界穩(wěn)定 。 K，不包圍 (1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)穩(wěn)定。 開環(huán)傳遞函數(shù)如下： ( 1 )( 1 )KGHs T s s? ?? 試確定開環(huán)放大倍數(shù) K的臨界值 Kc與時(shí)間常數(shù)的關(guān)系 。 → 0176。 → ＋ 90176。 即 ω： 0→ 0+； θ：－ 90176。 轉(zhuǎn)到－ 90ν 176。 ， 這時(shí)在 G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時(shí)針方向從 90ν 176。 經(jīng) 0176。 G(s)H(s)在其平面上的映射為 0limjse?? ???0012l i m l i m12( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )jjms e s enK s z s z s zG s H ss s p s p s p????? ????? ?? ? ??? ? ?……120 12( ) ( ) ( )l i m( ) ( ) ( )jjmnK z z z eep p p? ? ? ???????? ?? ? ?? ? ?? ? ?……ν 為開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。 ? 半徑無窮小半圓對應(yīng)的 G(s)H(s)曲線 當(dāng) s沿著上述小半圓移動(dòng)時(shí) ， 有 當(dāng) ω從 0 沿小半圓變到 0+ 時(shí) ， s按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了180176。 而將位于坐標(biāo)原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)劃到了復(fù)平面的左半部 。 當(dāng) ε→ 0時(shí) ， 此小半圓的面積也趨近于零 。（因?yàn)橛成涠ɡ硪蟠嘶鼐€不經(jīng)過 F(s)的奇點(diǎn) ！ ） ?為了在這種情況下應(yīng)用乃氏判據(jù)，可以選擇新的乃氏回線。 4. Nyquist穩(wěn)定判據(jù) (判據(jù) 2） 虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)的 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) ?虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)的情況通常出現(xiàn)在系統(tǒng)中有 串聯(lián)積分環(huán)節(jié) 的時(shí)候，即在 s平面的 坐標(biāo)原點(diǎn)有開環(huán)極點(diǎn) 。 22 )(1)(11)( TTKjTKTjKjG????? ???????圖 532 例 57的極坐標(biāo)圖 從 G(jω)H(jω) 曲線看出 ， 當(dāng) K1 時(shí) ，Nyquist曲線逆時(shí)針包圍 (1， j0)點(diǎn)一圈 ， 即N=1， Z=NP=0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。 1)( ?? TsKsG 解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 作出 ω=0→+∞ 變化時(shí) G(jω)H(jω)曲線如圖532所示 ， 鏡像對稱得 ω： ∞→ 0變化時(shí)G(jω)H(jω) 如圖 532虛線所示 。 ????????1? 0K0??eRmI? ?GH 奈氏曲線 該系統(tǒng) 穩(wěn)定 ? 例 2 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制 (1) K=5， (2) K=15時(shí)的乃氏圖 ， 并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 ? 如果開環(huán)穩(wěn)定 ， 即 P=0， 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線 CGH圍繞 (－ 1, j0)的圈數(shù)為 N=0。 ? 如果 N≠P， 說明閉環(huán)系統(tǒng) 不穩(wěn)定 。 ?因此 ， 繪制出 ω從－ ∞變化到＋ ∞的開環(huán)頻率特性 ，就構(gòu)成了完整的映射曲線 CGH 。 ( ) ( ) ( ) 1G s H s F s??乃氏曲線映射在 F(s) 平面和 G(s)H(s) 平面上 0Uj VG ( s ) H ( s ) 平 面0Uj VF ( s ) 平 面CFCG H ( 1 , j 0 ) ( 1 , j 0 )繪制映射曲線 CGH 的方法是： ? 對應(yīng)于 C1的映射曲線：令 s＝ jω代入 G(s)H(s)， 得到開環(huán)頻率特性 G(jω)H(jω)， 畫出乃氏圖 ， 再畫出其對稱于實(shí)軸的 、 ω 從 0變到－ ∞的那部分曲線 。 ? 如果開環(huán)穩(wěn)定 ， 即 P=0， 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線 CF 圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)為 N=0。 ? 如果 N≠P， 說明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 ? 由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 ， F(s) 在 s 平面右半部無零點(diǎn) ， 即 Z＝ 0。 3. Nyquist穩(wěn)定判據(jù) (判據(jù) 1） ? 設(shè)復(fù)變函數(shù) F(s) 在 s平面的右半部有 Z個(gè)零點(diǎn)和 P個(gè)極點(diǎn) 。 – 另一部分是半徑為無窮大的半圓 C2。 ? Nyquist回線 (簡稱 乃氏回線 )： 一條包圍整個(gè) s 平面右半部的按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的封閉曲線 。 ? 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是 ， 特征方程的根 ， 即 F(s) 的零點(diǎn) ， 都位于 s 平面的左半部 。 ② F(s) 的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同 。 二 、 Nyquist穩(wěn)定性判據(jù) 1. 輔助函數(shù) 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 稱如下 F(s)為輔助函數(shù) 1212( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )mnK s z s z s zBsG s H s n mA s s p s p s p? ? ?? ? ?? ? ?……1212( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( )mnK s z s z s zA s B sF s G s H sA s s p s p s p? ? ??? ? ? ? ?? ? ?……1212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nns s s s s ss p s p s p? ? ??? ? ?……? 輔助函數(shù)特點(diǎn)： ① 輔助函數(shù)是閉環(huán)與開環(huán)特征多項(xiàng)式之比 。 3. 映射定理 ? 映射定理 ：設(shè) s平面上的封閉曲線 Γs包圍了復(fù)變函數(shù)F(s)的 P個(gè)極點(diǎn)和 Z個(gè)零點(diǎn) ， 并且此曲線不經(jīng)過 F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn) ， 則當(dāng)復(fù)變量 s沿封閉曲線 Γs順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí) ， 在 F(s)平面上的映射曲線 ΓF包圍坐標(biāo)原點(diǎn)次數(shù) （ N= Z － P） 。 F(s)的相角表示及其變化 復(fù)變函數(shù) F(s)的相角可表示為 ? 假定在 s 平面上的封閉曲線 Γs包圍了 F(s) 的一個(gè)零點(diǎn)z1， 而其他零極點(diǎn)都位于封閉曲線之外； ? 當(dāng) s沿著 s平面上的封閉曲線 Γs順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí) ， 向量 (s－ z1)的相角變化－ 2π 弧度 ， 而其他各相量的相角變化為零； ? 這意味著在 F(s)平面上的映射曲線 ΓF沿順時(shí)針方向圍繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周 ， 也就是向量 F(s)的相角變化了－ 2π 弧度 。 ? 兩點(diǎn)說明： ① 若在 s平面上的封閉曲線 Γs是沿著順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的 ， 則在 F(s) 平面上的 映射曲線 ΓF的運(yùn)動(dòng)方向可能是順時(shí)針的 ， 也可能是逆時(shí)針的 ， 這 取決于F(s) 函數(shù)的特性 。 如果 Γs以順時(shí)針方向包圍 F(s)的一個(gè)零點(diǎn) ， F(s) F(s) F(s)平面將以順時(shí)針方向包圍原點(diǎn)一次 。 ? 假設(shè) s平面上除了有限奇點(diǎn)之外的任一點(diǎn) s， 復(fù)變函數(shù) F(s)為解析函數(shù) ， 那么 ， 對于 s 平面上的每一解析點(diǎn) ， 在 F(s) 平面上必定有一個(gè)對應(yīng)的映射點(diǎn) （ s平面和 F(s)平面 之間的對應(yīng)關(guān)系 ） 。 一 、 映射定理 （ 幅角定理 ） 1. s平面和 F(s)平面 之間的映射關(guān)系 設(shè)有一復(fù)變函數(shù) s為復(fù)變量 ， 以 s復(fù)平面上的 s=σ+jω表示 。 – 有助于建立相對穩(wěn)定性的概念 。 ? Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的優(yōu)點(diǎn) – 圖解法 、 幾何判據(jù) ， 簡單 、 直觀 、 計(jì)算量?。?勞斯 /赫爾維茨判據(jù)是代數(shù)判據(jù) ） 。 時(shí)域穩(wěn)定判據(jù)： ROUTH判據(jù)，古爾維茨。 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及穩(wěn)定裕度 控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)所需要 解決的首要問題 。 ?曲線與虛軸交點(diǎn)： 令 Re[G(j?)H(j?)]=0，求出 ?=∞ 。 3=270 176。分析可得如下結(jié)論： nm?? ??( ) 0( ) 9 0Mnm? ???? ? ? ?（ ） （ ）可得高頻段乃氏圖： （２）乃氏圖與虛軸交點(diǎn) : （１）曲線與實(shí)軸交點(diǎn) :令虛部為０ 確定乃氏圖與實(shí)軸、虛軸交點(diǎn) ? ?I m ( ) ( ) 0G j H j? ? ?令實(shí)部為０ ? ?R e ( ) ( ) 0G j H j? ? ?例： 開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為 試?yán)L制該系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖 解 : (1)本系統(tǒng)中 n=3,m=0,nm==1 (2)確定 起點(diǎn)和終點(diǎn) 起點(diǎn)處 :相角為 90176。 Nyquist圖與實(shí)軸相交時(shí) ? (3)Ⅱ 型系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線 ? 其頻率特性為 ： =0?當(dāng) 時(shí) 0=0 = 1 8 0M? ???（ ）（ ）=? ?當(dāng) 時(shí) =0= ( ) ( 90 )Mnm? ??? ? ?（ ）（ ）? 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。 ()( ) ( ) ( ) jG j H j M e ??? ? ??)(??))(1(10)()(??? sssHsG? 根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目 v的不同 (v＝ 0， 1， 2…… )，控制系統(tǒng)可以分為 0型系統(tǒng)、 Ⅰ 型系統(tǒng)、 Ⅱ 型系統(tǒng)、 Ⅲ 型系統(tǒng)等。 ( 5 ) 延遲環(huán)節(jié) 滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： 式中 ——滯后時(shí)間 頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： sesG ???)(???? jejG ??)(( ) 1M ? ?()? ? ????圖 延遲環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖 設(shè)反饋控制系統(tǒng)如下圖所示 ， 其開環(huán)傳遞函數(shù)為 : G(s)H(s) 開環(huán)頻率特性為 : G(jω)H(jω) 在繪制開環(huán)極坐標(biāo)曲線時(shí) ， 可將 G(jω)H(jω) 寫成實(shí)頻和虛頻形式 G(jω)H(jω) = R(ω) + jI(ω) 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖 或?qū)?成極坐標(biāo)形式 給出不同的 ω， 計(jì)算相應(yīng)的 R(ω)、 I