【文章內(nèi)容簡介】 s s s s s ss p s p s p? ? ??? ? ?……? 輔助函數(shù)特點： ① 輔助函數(shù)是閉環(huán)與開環(huán)特征多項式之比 。 F(s)的零點 為系統(tǒng)特征方程的根 （ 閉環(huán)極點 ） s s … sn，而 F(s) 的極點 則為系統(tǒng)的 開環(huán)極點 p p … pn。 ② F(s) 的零點和極點個數(shù)相同 。 ③ F(s) 與開環(huán)傳函只差 1。 ? 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是 ， 特征方程的根 ， 即 F(s) 的零點 ， 都位于 s 平面的左半部 。 2. 乃氏回線 ? 為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ， 需要檢驗 F(s)是否有位于 s平面右半部的零點 。 ? Nyquist回線 (簡稱 乃氏回線 )： 一條包圍整個 s 平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲線 。 0ss 平 面C1C2Rj?j??j??? 乃氏回線由兩部分組成 ： – 一部分是沿著虛軸由下向上移動的直線段 Cl， 在此線段上 s＝ jω， ω 由－ ∞變到＋ ∞。 – 另一部分是半徑為無窮大的半圓 C2。 ?如此定義的封閉曲線肯定包圍了 F(s)的位于 s平面右半部的所有零點和極點 。 3. Nyquist穩(wěn)定判據(jù) (判據(jù) 1） ? 設復變函數(shù) F(s) 在 s平面的右半部有 Z個零點和 P個極點 。 根據(jù)映射定理 ， 當 s 沿著 s平面上的乃氏回線移動一周時 ， 在 F(s) 平面上的映射曲線 CF將圍繞坐標原點旋轉(zhuǎn) N = Z－ P周 。 ? 由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 ， F(s) 在 s 平面右半部無零點 ， 即 Z＝ 0。 因此可得以下的穩(wěn)定判據(jù) : ? Nyquist穩(wěn)定判據(jù) （ 第一種表述方法 ） : 如果在 s平面上 ， s沿著乃氏回線順時針方向移動一周時 ， 在 F(s)平面上的映射曲線 CF 圍繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) P周 ， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定 的 （ P為不穩(wěn)定開環(huán)極點的數(shù)目 ） 。 ? 如果 N≠P， 說明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 閉環(huán)系統(tǒng)分布在右半 s平面的極點數(shù) Z＝ P+N。 ? 如果開環(huán)穩(wěn)定 ， 即 P=0， 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線 CF 圍繞坐標原點的圈數(shù)為 N=0。 ? 根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有 ?F(s)的映射曲線 CF 圍繞原點運動情況 ， 相當于G(s)H(s)的封閉曲線 CGH圍繞 (－ 1， j0)點的運動情況 。 ( ) ( ) ( ) 1G s H s F s??乃氏曲線映射在 F(s) 平面和 G(s)H(s) 平面上 0Uj VG ( s ) H ( s ) 平 面0Uj VF ( s ) 平 面CFCG H ( 1 , j 0 ) ( 1 , j 0 )繪制映射曲線 CGH 的方法是： ? 對應于 C1的映射曲線：令 s＝ jω代入 G(s)H(s)， 得到開環(huán)頻率特性 G(jω)H(jω)， 畫出乃氏圖 ， 再畫出其對稱于實軸的 、 ω 從 0變到－ ∞的那部分曲線 。 ? 對應于 的映射曲線：由于在實際系統(tǒng)中n≥m， 當 n＞ m時 G(s)H(s) 趨近于零 ， n＝ m時 G(s)H(s)為實常數(shù) 。 ?因此 ， 繪制出 ω從－ ∞變化到＋ ∞的開環(huán)頻率特性 ，就構成了完整的映射曲線 CGH 。 lim jRs R e ?????? Nyquist穩(wěn)定判據(jù) （ 第二種表述方法 ） ： 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是 ， 當 ω 從－ ∞變化到＋∞時 ， 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 G(jω)H(jω)按逆時針方向包圍 (－ 1, j0)點 P周 ， 則 系統(tǒng)是穩(wěn)定的 ， P為位于 s 平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目 。 ? 如果 N≠P， 說明閉環(huán)系統(tǒng) 不穩(wěn)定 。 閉環(huán)系統(tǒng)分布在右半 s平面的極點數(shù) Z＝ P+N。 ? 如果開環(huán)穩(wěn)定 ， 即 P=0， 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線 CGH圍繞 (－ 1, j0)的圈數(shù)為 N=0。 例 1 已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1212( ) ( ) ( 0 , 0 , 0 )( 1 ) ( 1 )KG s H s K T TT s T s? ? ? ???試用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 ????????1? 0K0??eRmI? ?GH 奈氏曲線 該系統(tǒng) 穩(wěn)定 ? 例 2 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制 (1) K=5， (2) K=15時的乃氏圖 ， 并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 ( ) ( ) (0 . 5 1 ) ( 1 ) ( 2 1 )KG s H s s s s? ? ? ?例 59的乃氏圖 0( 1 , j 0 )()jY ?()X ?? ? ???? ? 0? ?MATLAB繪制例 59的乃氏圖 + + 作業(yè)：單位反饋系統(tǒng) ， 其開環(huán)傳遞函數(shù)為 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 1)( ?? TsKsG 解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 作出 ω=0→+∞ 變化時 G(jω)H(jω)曲線如圖532所示 ， 鏡像對稱得 ω： ∞→ 0變化時G(jω)H(jω) 如圖 532虛線所示 。 系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定 ， 有一個位于 s平面的右極點 ， 即 P=1。 22 )(1)(11)( TTKjTKTjKjG????? ???????圖 532 例 57的極坐標圖 從 G(jω)H(jω) 曲線看出 ， 當 K1 時 ，Nyquist曲線逆時針包圍 (1， j0)點一圈 ， 即N=1， Z=NP=0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。 當 K1時 ， Nyquist曲線不包圍 (1， j0)點 ，N=0， Z=N+P=1則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 ， 閉環(huán)系統(tǒng)有一個右極點 。 4. Nyquist穩(wěn)定判據(jù) (判據(jù) 2） 虛軸上有開環(huán)極點的 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) ?虛軸上有開環(huán)極點的情況通常出現(xiàn)在系統(tǒng)中有 串聯(lián)積分環(huán)節(jié) 的時候，即在 s平面的 坐標原點有開環(huán)極點 。 ?這時不能直接應用前面給出的乃氏回線。（因為映射定理要求此回線不經(jīng)過 F(s)的奇點 ！ ） ?為了在這種情況下應用乃氏判據(jù)，可以選擇新的乃氏回線。 虛軸上有開環(huán)極點 的乃氏回線 0ss 平 面εC1C2Rj?j??j?? 虛軸上無開環(huán)極點的 乃氏回線 0ss 平 面C1C2Rj?j??j??? 兩種乃氏回線的區(qū)別僅在于： – 虛軸上有開環(huán)極點的乃氏回線經(jīng)過以坐標原點為圓心 ， 以無窮小量 ε為半徑的 ， 在 s 平面 右半部 的小半圓 ， 繞過了開環(huán)極點所在的原點 。 當 ε→ 0時 ， 此小半圓的面積也趨近于零 。 ? 因此 ， F(s)的位于 s平面右半部的零點和極點均被新乃氏回線包圍在內(nèi) 。 而將位于坐標原點處的開環(huán)極點劃到了復平面的左半部 。 ? 這樣處理滿足了乃氏判據(jù)的要求 （ 應用乃氏判據(jù)時必須首先明確位于 s平面右半部和左半部的開環(huán)極點的數(shù)目 ） 。 ? 半徑無窮小半圓對應的 G(s)H(s)曲線 當 s沿著上述小半圓移動時 ， 有 當 ω從 0 沿小半圓變到 0+ 時 ， s按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了180176。 。 G(s)H(s)在其平面上的映射為 0limjse?? ???0012l i m l i m12( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )jjms e s enK s z s z s zG s H ss s p s p s p????? ????? ?? ? ??? ? ?……120 12( ) ( ) ( )l i m( ) ( ) ( )jjmnK z z z eep p p? ? ? ???????? ?? ? ?? ? ?? ? ?……ν 為開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。 ? 可見 ， 當 s沿著小半圓從 ω=0變化到 ω=0+時 ， ?角從－ 90176。 經(jīng) 0176。 變化到＋ 90176。 ， 這時在 G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從 90ν 176。 經(jīng)過 0176。 轉(zhuǎn)到－ 90ν 176。 。 即 ω： 0→ 0+； θ：－ 90176。 → 0176。 → ＋ 90176。 ； ?(ω) ：＋ 90ν176。 → 0176。 → － 90ν176。 開環(huán)傳遞函數(shù)如下： ( 1 )( 1 )KGHs T s s? ?? 試確定開環(huán)放大倍數(shù) K的臨界值 Kc與時間常數(shù)的關系 。 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )KG j H j j j T j?? ? ? ?? ??23( 1 ) ( )KT j T? ? ?? ? ? ? ?( ) ( )G j H j??21 1( ) ( ) [ ]( 1 )TG j H j t gT????? ?? ? ??2 2 2 41 ( 1 )KTT? ? ??? ? ?0180???? ??從 相角條件 解出 ， 200 11 TT????11,1ccKT TKTT????解出： ，把 ω0代入 幅值條件 ， 因此 ， 使 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件 是： 10 T TK ???01 .5 , 0 .7 0 7cK ???設 T=2， 0( ) 1G j j ???? ???? ?令 T=2， K取不同值， (),(=),()作圖，用奈魁斯特 穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 K，不包圍 (1,j0)點，閉環(huán)穩(wěn)定。 ﹣ 1 ﹣ 1 ﹣ 1 K=， 穿過 (1,j0)點 2次 ， ,系統(tǒng)存在 2個共軛虛根 ， 。 閉環(huán)臨界穩(wěn)定 。 0 0. 70 7? ?7 0 ,1 js ??K， 順時針包圍 (1,j0)點 2次 ,閉環(huán)不穩(wěn)定 。 K K= K 開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng) 畫出該系統(tǒng)的根軌跡證明上述結論。 (