【文章內容簡介】 Osdp1p2p31 1 1 012d d ds s s? ? ???解之，得 sd = , sd = (舍掉 ) 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (7) 分離角： j12 1 2 1 2 Osdp1p2p3d π /2? ??自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (8) 根軌跡與虛軸交點坐標即臨界增益： 令 s = j? ， 代入特征方程 將實部和虛部分別寫成方程式 3 2 *3 2 0s s s K? ? ? ?3 2 *2 * 3( j ) 3 ( j ) 2 ( j ) 0( 3 ) j ( 2 ) 0KK???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?2*33020K???? ? ? ?? ? ? ??自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 解之，得 j12 1 2 1 2 Osd22?p1p2p3*0 , 20 , 6K? ???所以，與虛軸交點坐標為 臨界增益 1 , 2 j2s ??3K ?自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 1123412j012自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 解： (1) 開環(huán)極點： p1= 0， p2= 3， p3,4= 1 ? j 無開環(huán)零點 。 (3) K = 0時 ，根軌跡起始于 p1 ， p2 ， p3,4 K ? ? 時，皆趨于無窮遠處； (2) n = 4 ， 根軌跡有 4條分支； 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數 試繪制 K 從 0 ? ? 變化時閉環(huán)的根軌跡圖。 2() ( 3 ) ( 2 1 )KGss s s s? ? ? ?自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 j1 1 1 2 O 3p1p2p3p4自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (4) 實軸上的根軌跡區(qū)段： (3, 0) 1 1 1 2 O 3p2 p1p3p4j自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (5) 漸近線： ? ?a11a( 2 1 ) π ( 2 1 ) ππ / 4 , 3 π /4400 ( 3 ) ( 1 j ) ( 1 j )40nmijijkknmpznm??????? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?????????自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 1 1 1 2 O 3 1 . 2 5p2p3p1p4j自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (6) 分離點坐標 sd： 解之，得 sd = sd = ? j (舍掉 ) 由公式 11dd11nmij ijs p s z???????d d d d1 1 1 1 03 1 j 1 js s s s? ? ? ?? ? ? ? ?32ddd4 15 16 6 0sss? ? ? ?自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 1 1 1 2 O 3 1 . 2 5 2 . 3sdp2p3p4p1j自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (7) 分離角： d π /2? ??1 1 1 2 O 3 1 . 2 5 2 . 3sdp2p3p4p1j自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (8) 起始角： 11( 2 1 ) π ( ) ( )kmnp k j k ijikk p z p p????? ? ? ? ? ? ? ???? ?? ?3 3 1 3 2 3 418 0 ( ) ( ) ( )18 0 13 5 26 .6 90 71 .6p p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?4 71 .6p? ??自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 1 1 1 2 O 3 1 . 2 5 2 . 3sd7 1 . 6?7 1 . 6jp2p3p4p1自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (9) 根軌跡與虛軸交點坐標及臨界增益： 令 s = j? ， 代入特征方程 將實部和虛部分別寫成方程式 解之，得 2*( 3 ) ( 2 2 ) 0s s s s K? ? ? ? ?24 2 3( j ) ( j 3 ) ( j ) 2 ( j ) 2 0( 8 ) j ( 5 6 ) 0KK? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?423805 6 0K????? ? ? ?? ? ? ??0 , 0 , ? ? ? ?自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 所以，與虛軸交點坐標為 臨界增益 1 , 2 j1. 1s ?? ?1 1 1 2 O 3 1 . 2 5 2 . 3sd7 1 . 6?7 1 . 6jp2p1p3p41 . 1 1 . 1自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 1 21234123123j 0 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (10) 求 K= ： 利用根之和與根之積的關系式，得到 1 2 3 41 2 3 40 3 1 1 58 . 1 6s s s ss s s s K? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???已知 s1,2 = ? 那么 s3,4 = ? 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 例 已知系統(tǒng)的結構圖 試證明 K 從 0 ? ? 變化時的閉環(huán)根軌跡其復數部分為圓，并求圓的半徑和圓心。 ()()K s bs s a??R ( s ) C ( s )( 0 )ba ??(1) 開環(huán)極點： p1= 0， p2= a 開環(huán)零點： z1 = b 解： 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 j a b1p2p1zO(2) n = 2 ， 根軌跡有 2條分支； 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (3) K = 0時 ，根軌跡起始于 p1 ， p2 K ? ? 時，根軌跡一條終止于 z1 ， 另一條趨于無窮遠處； (4) 實軸上的根軌跡區(qū)段： (a, 0)， (?, b) j a b1p2p1zO自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (5) 漸近線： 因為 n – m = 1 所以 a 180? ?(6) 分離點坐標 sd： 由公式 11dd11nmij ijs p s z???????d d d1 1 1s s a s b????2dd20s bs ab? ? ?所以 22d2 4 4 ()2b b a bs b b a b b a? ? ?? ? ? ? ?自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 求得兩個分離點坐標分別為 2d12d2s b b abs b b ab? ? ? ?? ? ? ?j a b1p2p1zO自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 證明：兩分離點之間的根軌跡為圓 由于根軌跡上任一點都滿足閉環(huán)特征方程，設根軌跡復數部分任一點 s = ? + j? ，代入特征方程中 22( ) 0( j ) ( ) ( j ) 0s a K s K ba K K b? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?展開，整理，令 Re 0Im 0??? ??整理得到， 22 ( ) 02K b aKa? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 顯然這是以 ?, ? 為變量的圓的方程，其圓心坐標為 (b， 0)， 半徑為 2r b ab??將 K代入整理，得到 2 2 2() b b b a? ? ? ???自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 a b1p2p1zOrj自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 從例題中可以發(fā)現(xiàn)：由兩個極點 (實數極點或復數極點 )和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點沒有位于兩個實數極點之間，當 K從零變到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復數部分，是以有限零點為圓心到分離點的距離為半徑的圓，或圓的一部分。這在數學上是可以嚴格證明的。 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 開環(huán)零極點變化時的根軌跡 根軌跡的形狀與開環(huán)零極點的分布密切相關。 一、增加開環(huán)極點的影響 (1) 改變了根軌跡在實軸上的分布； (2) 改變漸近線的條數，方向角及與實軸的交點； (3) 一般使根軌跡向右偏移，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性。 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 j p1p2pOj p1p2pO pc3p例如： 0cc( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )KKG s G s p ps s p s s p s p? ? ? ?? ? ?自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 () ( 2 )KGs ss? ?自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 4() 2 )) ((KGsss s ?? ?自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 1() 2 )) ((KGsss s ?? ?自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 () ( 2 )KGs ss s? ?