[理學]線性代數(shù)第14講-文庫吧資料
2024-10-25 01:08本頁面
【正文】 Y d y?? ?(或?qū)?A合同于對角陣 , 即 CTAC=L), 就容易判別其正定性 . 2021/11/10 31 定理 5 若 A是 n階實對稱矩陣 , 則下列命題等價 : (i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩陣 )。 正負慣性指數(shù)的差稱為 負號差 . n階實對稱陣 A的秩為 r, 正慣性指數(shù)為 p, 則負慣性指數(shù) q=r?p, 符號差 p?q=2p?r, 與 A合同的對角陣的零對角元個數(shù)為 n?r. 2021/11/10 24 推論 設(shè) A為 n階實對稱陣 , 若 A的正負慣性指數(shù)分別為 p和 q, 則 A?diag(1,...,1,?1,...,?1,0,...,0) () 其中 1有 p個 , ?1有 q個 , 0有 n?(p+q)個 . 或者說 , 對于二次型 XTAX, 存在非退化線性變換 X=CY, 使得 2 2 2 211 . ( 6 . 1 5 )Tp p p qX A X y y y y??? ? ? ? ? ?并把 ()式右端的二次型稱為 XTAX的規(guī)范形 。2=f (2) 在二次曲面的研究中也有類似的問題 . 2021/11/10 3 二次型的定義和矩陣表示 合同矩陣 2021/11/10 4 定義 1 n元變量 x1,x2,...,xn的二次多項式 1221 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 122 2 2 2 3 2 3 2 22( , , , )2 2 222( 6. 1 )nnnnnn n nf x x xa x a x x a x x a x xa x a x x a x xax? ? ? ? ?? ? ? ??當系數(shù)屬于數(shù)域 F時 , 稱為數(shù)域 F上的一個 n元二次型 . 本章討論實數(shù)域上的 n元二次型 , 簡稱 二次型 . 2021/11/10 5 由于 xixj=xjxi, 具有對稱性 , 若令 aji=aij, ij, () 則 2aijxixj=aijxixj+ajixixj(ij), 于是 ()式可以寫成對稱形式 21 2 11 1 12 1 2 1 1221 2 1 22 2 2 221 1 2 211( , , , ). ( )n n nnnn n n n nn nnnij i jijf x x x a x a x x a x xa x x a x a x xa x x a x x a xa x x??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??2021/11/10 6 記 11 12 121 22 212, ( 6. 4)nnn n nna a aa a aAa a a?????????1211( , , , ) (6 . 5 )nnTn i j i jijf x x x a x x X A X??????X=[x1,x2,...,xn]T. 二次型 ()可以用矩陣乘積形式簡單表示為 2021/11/10 7 把 A稱為二次型對應的矩陣 , 對于任意一個二次型 (), 總可以通過 ()使其寫成對稱形式()
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