【正文】 ????????????????nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx?????????2121222211121121,., 為實對稱矩陣其中則二次型可記作 AAxxf T?三、二次型的矩陣及秩 在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型， 就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對 稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二 次型與對稱矩陣之間存在 一一對應 的關系． 。此時，容易看出 2?f解 .22 2222 , 434232413121化為標準形把二次型求一個正交變換xxxxxxxxxxxxfPyx???????例 5 二次型的矩陣為,0111101111011110???????????????????A它的特征多項式為.111111111111??????????????? IA有四列都加到第一列上三把二計算特征多項式 ,: ,1111111111111)1(??????????????? IA有四行分別減去第一行三把二 ,1000212022101111)1(?????????????????? IA1221)1( 2????????????.)1()3()32()1( 322 ???????? ?????.1,3 4321 ????? ????的特征值為于是 A,0)3(,31 ???? xIA解方程時當 ?,11111??????????????????得基礎解系 .1111211?????????????????p單位化即得,0)(,1432 ????? xIA解方程時當 ???,1111,1100,0011232??????????????????????????????????????????????? ??? 可得正交的基礎解系單位化即得 ???????????????????????????????????????????????21212121,212100,002121432ppp于是正交變換為???????????????????????????????????????????????yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.3 24232221 yyyyf ????? 且有6例 AxxfA T?階實對稱矩陣，二次型為已知 3 ? ?.,]1,1,1[31,43321232221QyxQyyyQyxT??????所作的正交變換試求，且中矩陣其化為標準形經(jīng)正交變換????解 兩兩正交，且由，正交知，由 321 ???Q知則由的特征向量為對應特征值征向量，設的特是對應于，的特征值為題設知0,],[144113213????xxxxxAATT??0321 ??? xxx的線性無關特征向量的對應于特征值由此可得 1ATT ]1,0,1[,]0,1,1[ 21 ???? ??經(jīng)正交化、單位化，得TT ]2,1,1[61,]0,1,1[2121 ???? ??為因此，正交變換 Qyx ????????????????????323321232113162316121316121yyxyyyxyyyx六、小結 1. 實二次型的化簡問題，在理論和實際中 經(jīng)常遇到，通過 在二次型和對稱矩陣之間建立一 一對應的關系 ， 將二次型的化簡轉化為將對稱矩 陣化為對