【正文】 ??0272127112112???????????????????nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx????????????????22112222121212121111,設(shè)有可逆 線性變換 四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求 可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形． ),( c ijC ?若記矩陣 記作則上述可逆線性變換可 Cyx ?Axxf T?有將其代入 , Axxf T?? ? .yACCy TT?? ? ? ?CyACy T?? ? ? ? ., 0ArBrBAACCBC T??且也為對稱矩陣則矩陣為對稱如果令任給可逆矩陣定理2 2 21212T TnnA C y y y yy C k k k? ? ? ??2定義 , PnBAn 階滿秩陣若存在和階方針對使成立 APPB T? BA 與則稱 .合同形的問題就轉(zhuǎn)變成如何于是，化二次型為標(biāo)準(zhǔn).對角矩陣的問題使實對稱矩陣合同于實即有用于二次型因此把這個結(jié)論應(yīng)即使總有正交矩陣陣由于對任意的實對稱矩,., 1?????APAPPAPPT? ?化為標(biāo)準(zhǔn)形使正交變換總有任給二次型fPyxaaxxaf jiijnjijiij, 1,??? ??,2222211 nn yyyf ??? ???? ?? ? ., 21 的特征值的矩陣是其中 ijn aAf ???? ?1定理.1的特征值系數(shù)一定是準(zhǔn)形經(jīng)過正交變換化成的標(biāo)、AAxxf T?說明 時，必有在持向量的長度不變，即而言，正交變換將保、對正交變換QyxQyx??222 yx ?事實上，)()(,2 QyQyQyQyxxx T???????2, yyyyyQyQy TTT ??????用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟 。,A, .1 1T定矩陣均為正則為正定實對稱陣設(shè) ?? AAA., .2 矩陣也是正定則階正定矩陣均為若 BAnBA ?? ? ? ? .,2,1,011111nkaaaakkkkk ????????推論 對稱矩陣 為負(fù)定的充分必要條件是：奇 數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即 A例 3 判別二次型 ? ? 323121232221321 48455, xxxxxxxxxxxxf ??????是否正定 . 解 ? ?的矩陣為321 , xxxf,524212425???????????????A它的順序主子式 ,05? ,011225 ?? ,01524212425??????故上述二次型是正定的 . 例 4 判別二次型 ? ? 31232221321 4542, xxxxxxxxf ????是否正定 . 解 二次型的矩陣為 ,502040202?????????????A用 特征值判別法 . 0?? IA ?令 ,.6,4,1 321 均為正數(shù)???? ???故此二次型為正定二次型 . 即知 是正定矩陣， A解 的矩陣為f,0111 ??a ,0441 222211211 ???? tttaaaa正，由的各階順序主子式均為，應(yīng)有根據(jù)定理 A4,2010411??????????? ttA例 5 若二次型 3121232221 2224 xxxtxxxxf ?????正定，求參數(shù) t 應(yīng)滿足的條件 . 04220104112 ????? tttA解得 22 ??? t2. 正定二次型 （ 正定矩陣 ）的判別方法： (1)定義法； (2)順序主子式判別法； (3)特征值判別法 . 四、小結(jié) 1. 正定二次型的概念，正定二次型與正定 矩陣的區(qū)別與聯(lián)系． 3. 根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到 負(fù)定二次型 （ 負(fù)定矩陣 ）相應(yīng)的判別方法，請大 家自己推導(dǎo)． 思考題 .00, 是否為正定矩陣矩陣試判定分塊階正定矩陣階分別為設(shè)???????BACnmBA思考題解答 . 是正定的C解于是量不同時為零向則若維列向量維和別是分其中維向量為設(shè)因為,0,),(, yxznmyxnmyxz TTT????????????????yxBAyxCzz TTT 00),(,0 ??? ByyAxx TT., 為正定矩陣故是實對稱陣且 C