線性代數(shù)二次型習(xí)題及答案(存儲(chǔ)版)
【正文】 A的階順序主子陣分別左，右相乘對(duì)角陣而得到，即計(jì)算的行列式，有故由正定矩陣的等價(jià)命題知結(jié)論正確． 14．設(shè)A為正定矩陣，B為實(shí)反對(duì)稱矩陣，則. 證：因?yàn)镸是n階實(shí)矩陣，所以它的特征值若是復(fù)數(shù)，則必然以共軛復(fù)數(shù)形式成對(duì)出現(xiàn)；將M的特征值及特征向量寫成復(fù)數(shù)形式，進(jìn)一步可以證明對(duì)于n階實(shí)矩陣M，如果對(duì)任意非零列向量X，均有可推出M的特征值(或者其實(shí)部)大于零． 由于M的行列式等于它的特征值之積，故必有 ． 因?yàn)锳是正定矩陣，B是反對(duì)稱矩陣，顯然對(duì)任意的非零向量X，均有而A+B顯然是實(shí)矩陣，故. 15．設(shè)A是n階正定矩陣，B為nm矩陣，則r(BAB)=r(B)． 證：考慮線性方程組，顯然線性方程組 ． 考慮線性方程組，若是線性方程組，因此有． 上式兩端左乘 因?yàn)锳是正定矩陣，因此必有，故線性方程組與 是同解方程組，所以必有r(BAB)= r(B). 16．設(shè)為實(shí)對(duì)稱陣，則存在實(shí)數(shù)，使. 證：因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱陣，則存在正交矩陣，使.其中為的特征值，且為實(shí)數(shù)，. 于是 取，則，故 . 17．設(shè)為階正定陣，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有. 證：因?yàn)闉檎ň仃嚕蕿閷?shí)對(duì)稱陣，且的特征值. 則存在正交矩陣，使于是對(duì)任意，有 . 18．設(shè)為半正定陣，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有. 證：因?yàn)闉榘胝ň仃?，故為?shí)對(duì)稱矩陣，且的特征值，. 則存在正交矩陣，使 ，于是對(duì)任意，有 . 19．為階實(shí)矩陣，為正實(shí)數(shù)，記，則正定. 證：，故是實(shí)對(duì)稱矩陣. 對(duì)，有，因此有 故 為正定矩陣. 20．A是mn實(shí)矩陣，若是正定矩陣的充分必要條件為A是列滿秩矩陣． 證：先證必要性方法一設(shè) 是正定矩陣，故 ，有由此，即線性方程組僅有零解，所以r(A)=n，即A是列滿秩矩陣．方法二 因?yàn)?是正定矩陣，故r( )=n，由于所以r(A)=n． 即A是列滿秩矩陣． 再證充分性：因A是列滿秩矩陣，故線性方程組僅有零解，X為實(shí)向量，有．因此顯然 是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以 是正定矩陣． 21．設(shè)為階實(shí)對(duì)稱陣，且滿足，則為正定陣. 證：設(shè)為的任意特征值，為的屬于特征值的特征向量，故，則由 有 由 ，故 . .因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱矩陣，故為正定陣. 22．設(shè)三階實(shí)對(duì)稱陣的特征值為，其中對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，求一正交變換，將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形. 解：設(shè)為的屬于特征值3的特征向量，由于是實(shí)對(duì)稱矩陣，故滿足正交條件 解之可取，將其單位化有 令 .則在正交變換下，將化成標(biāo)準(zhǔn)形為 23．設(shè)二次型經(jīng)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，求所作的正交變換. 解：由的標(biāo)準(zhǔn)形為，故的特征值為.故 令，則 解之 .由此 對(duì)于有 可得的兩個(gè)正交的特征向量對(duì)于，可得的特征向量為將特征向量單位化得則為正交矩陣，正交變換為. 注：因特征向量選擇的不同，正交矩陣不惟一. 24．已知二次型正定，求. 解：二次型的表示矩陣由正定，應(yīng)有的各階順序主子式全大于0. 故 ，即.解之 . 25．試問：三元方程，在三維空間中代表何種幾何曲面. 解：記則 設(shè) .則. 故的特征值為. 對(duì)于，求得特征向量為.由Schmidt正交化得.對(duì)于得特征向量，標(biāo)準(zhǔn)化得 令 則在正交變換下于是為為橢球面. 26．求出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及相應(yīng)的可逆線性變換. 解：將括號(hào)展開，合并同類項(xiàng)有 令 即 則可逆變換為
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