【正文】 線(xiàn)性代數(shù)習(xí)題及答案 習(xí)題一 1. 求下列各排列的逆序數(shù) . (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n(n?1)… 321； (4) 13… (2n?1)(2n)(2n?2)… 2. 【解】 (1) τ (341782659)=11。 (2) τ (987654321)=36。 (3) τ (n(n?1)… 3178。 2178。 1)= 0+1+2 +… +(n?1)= ( 1)2nn? 。 (4) τ (13… (2n?1)(2n)(2n?2)… 2)=0+1+… +(n?1)+(n?1)+(n?2)+… +1+0=n(n?1). 2. 略 .見(jiàn)教材習(xí)題參考答案 . 3. 略 .見(jiàn)教材習(xí)題參考答案 . 4. 本行列式 45 1 2 3121 2 31 2 2xxxDxxx? 的展開(kāi)式中包含 3x 和 4x 的項(xiàng) . 解 ： 設(shè) 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4()4 1 2 3 4( 1 ) i i i i i i i ii i i iD a a a a???? ，其中 1 2 3 4, , ,i i i i 分別為不同列中對(duì)應(yīng)元素的行下標(biāo)，則 4D 展開(kāi)式中含 3x 項(xiàng)有 ( 2134 ) ( 4231 ) 3 3 3( 1 ) 1 2 ( 1 ) 3 2 ( 3 ) 5x x x x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4D 展開(kāi)式中含 4x 項(xiàng)有 ( 1234 ) 4( 1 ) 2 2 10x x x x x?? ? ? ? ? ?. 5. 用定義計(jì)算下列各行列式 . (1)0 2 0 00 0 1 03 0 0 00 0 0 4； (2)1 2 3 00 0 2 03 0 4 50 0 0 1. 【解】 (1) D=(?1)τ (2314)4!=24。 (2) D=12. 6. 計(jì)算下列各行列式 . (1)2 1 4 13 1 2 11 2 3 25 0 6 2?????； (2) ab ac aebd cd debf cf ef????? ? ?； (3)1 0 01 1 00 1 10 0 1abcd???； (4) 1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3. 【解】 (1) 125 0 6 23 1 2 1 01 2 3 25 0 6 2rrD ???? ???。 (2) 1 1 1 41 1 1111D a b c d e f a b c d e f??? ? ??????。 21 0 1 1 0 1 1 1( 3 ) ( 1 ) 11 1 0 1 100 1 0 11。b cD a a b c dcc dddda b c d a b a d c d?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ????? ? ? ? ? 321 2 2 11 3 3 1 4 21 4 4 1210 2 3 4 10 2 3 4 10 2 3 410 3 4 1 0 1 1 3 0 1 1 3( 4) 160 .10 4 1 2 0 2 2 2 0 0 4 410 1 2 3 0 1 1 1 0 0 0 4rrc c r rc c r r r rc c r rD???? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 7. 證明下列各式 . (1) 2222 2 ( )1 1 1a ab ba a b b a b? ? ?； (2) 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 0( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( 1 ) ( 2 ) ( 3 )a a a ab b b bc c c cd d d d? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?； (3) 2 3 22 3 22 3 2111 ( ) 1a a a ab b a b b c c a b bc c c c? ? ? (4) 20000()00nnababD ad bccdcd? ? ?； (5) 121 11 1 11 1 1 111 1 1nnii iinaa aaa? ??? ?????????? ?. 【證明】 (1) 1323223( ) ( ) ( )2( ) 20 0 1( ) ( ) ( )( ) ( )2( ) 2 1cccca b a b b a b ba b a b ba b a b b a b a b ba b a ba b a b??? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???左 端右 端 . (2) 32213 1 4 2412223222 1 4 4 6 9 2 1 2 62 1 4 4 6 9 2 1 2 6 02 1 4 4 6 9 2 1 2 62 1 4 4 6 9 2 1 2 6ccccc c c ccca a a a a ab b b b b bc c c c c cd d d d d d???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?左 端 右 端 . (3) 首先考慮 4 階范德蒙行列式 : 2323232311( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * )11x x xa a af x x a x b x c a b a c b cb b bc c c? ? ? ? ? ? ? ? 從上面的 4 階范德蒙行列式知，多項(xiàng)式 f(x)的 x 的系數(shù)為 2221( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,11aaab bc ac a b a c b c ab bc ac bbcc? ? ? ? ? ? ? ? 但對(duì)（ *）式右端行列式按第一行展開(kāi)知 x 的系數(shù)為兩者應(yīng)相等，故 2311 23231( 1) ,11aabbcc?? (4) 對(duì) D2n 按第一行展開(kāi)，得 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )00000 0 0 0( ) ,nn n na b a ba b a bD a bc d c dc d c ddcad D bc D ad bc D? ? ???? ? ? ? ? ? 據(jù)此遞推下去，可得 22 2 ( 1 ) 2 ( 2 )112( ) ( )( ) ( ) ( )()n n nnnnD ad bc D ad bc Dad bc D ad bc ad bcad bc??? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 2 ( ) .nnD a d b c? ? ? (5) 對(duì)行列式的階數(shù) n 用數(shù)學(xué)歸納法 . 當(dāng) n=2 時(shí)，可直接驗(yàn)算結(jié)論成立，假定對(duì)這樣的 n?1 階行列式結(jié)論成立，進(jìn)而證明階數(shù)為 n 時(shí)結(jié)論也成立 . 按 Dn 的最后一列，把 Dn拆成兩個(gè) n 階行列式相加： 112211 2 1 11 1 1 01 1 1 11 1 1 01 1 1 11 1 1 01 1 1 11 1 1.nnnn n naaaaDaaa a a a D???????????? 但由歸納假設(shè) 11 1 2 1 1 11 ,nnn i iD a a a a??? ????? ????? 從而有 11 2 1 1 2 111 2 111 1111111 .nn n n ni inn nn n iii iiiD a a a a a a a aa a a a aaa??????? ??????????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? 8. 計(jì)算下列 n 階行列式 . (1) 111111nxxDx? (2) 1 2 2 22 2 2 22 2 3 2222nDn?； (3)0 0 00 0 00000 0 0nxyxyDxyyx?. (4)n ijDa?其中 ( , 1, 2 , , )ija i j i j n? ? ? ； (5)2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 00 0 0 2 10 0 0 1 2nD ?. 【解】 (1) 各行都加到第一行，再?gòu)牡谝恍刑岢?x+(n?1),得 1 1 111[ ( 1 ) ] ,11nxD x nx? ? ? 將第一行乘（ ?1）后分別加到其余各行，得 11 1 11 1 0[ ( 1 ) ] ( 1 ) ( 1 ) .0 0 1nnxD x n x n xx??? ? ? ? ? ? ?? (2) 21311 1 2 2 2 21 0 0 0 01 0 1 0 01 0 0 2 01 0 0 0 2nrrn rrrrDn?????按第二行展開(kāi)2 2 2 20 1 0 02( 2) ! .0 0 2 00 0 0 2nn? ? ? ?? (3) 行列式按第一列展開(kāi)后，得 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0( 1 ) 0 0 00000 0 0 0 0 0( 1 )( 1 ) .nnn n nn n nx y yx y x yD x y xyxyy x x yx x y yxy?? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? (4)由題意，知 11 12 121 22 2120 1 2 11 0 1 22 1 0 31 2 3 0nnnn n nnna a ana a aD na a an n n???? ?? ? ? 0 1 2 2 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1nn??? ? ?? ? ????后 一 行 減 去 前 一 行 自 第 三 行 起 后 一 行 減 去 前 一 行 0 1 2 2 11 2 2 11 1 1 1 12 0 0 00 2 0 0 00 2 0 00 0 0 0 00 0 2 00 0 0 2 0nnnn????? ? ? ???按 第 一 列 展 開(kāi) 1 1 22 0 00 2 01 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 20 0 2n n nn n n? ? ?? ? ? ? ?按 第 列 展 開(kāi) . (5) 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 01 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 00 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 00 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 10 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2nD ? ? ? 122 nnDD????. 即有 1 1 2 2 1 1n n n nD D D D D D? ? ?? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1n n n nD D D D D D n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 得 1 1 , 1 2 1nnD D n D n n? ? ? ? ? ? ? ?. 9. 計(jì)算 n 階行列式 . 121212111nnnna a aa a aDa a a???? 【解】各列都加到第一列，再?gòu)牡谝涣刑岢?1nii a???，得 2323231231111