【正文】 ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?A Y X0 則 AX=AY,但 X≠ Y. 4. 設 101A?????? ?????, 求 A2， A3，…， Ak. 【解】 231 2 1 3 1, , , .0 1 0 1 0 1k k? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A A A 5. 100100???????????A= ， 求 23A,A 并證明： 121( 1 )2000k k kkkkkkkkk? ? ??????????????A= . 【解】2 3 22 2 3 3 2232 1 3 30 2 , 0 3 .0 0 0 0? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A = A = 今歸納假設 121( 1 )2000k k kkkkkkkkk? ? ??????????????A= 那么 11211111( 1 )1020100000( 1 )( 1 )2,0 ( 1 )00kkk k kkkkk k kkkkkkkkkkkk?? ? ??????? ? ????????????????????????????????????????????A A A= 所以，對于一切自然數(shù) k,都有 121( 1 )2 .000k k kkkkkkkkk? ? ??????????????A= 6. 已知 AP=PB ，其中 1 0 0 1 0 00 0 0 2 1 00 0 1 2 1 1? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?B = , P = 求 A 及 5A . 【解】因為 |P|= ?1≠ 0,故由 AP=PB,得 11 0 02 0 0 ,6 1 1???????????A PBP 而 5 1 5 5 1( ) ( )1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 02 1 0 0 0 0 2 1 0 2 0 0 .2 1 1 0 0 1 4 1 1 6 1 1????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A PB P P B PA 7. 設a b c db a d cc d a bd c b a??????????????A= ，求 |A |. 解 ：由已知條件， A 的伴隨矩陣為 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c db a d ca b c d a b c dc d a bd c b a???????? ? ? ? ? ? ? ? ?????????A = A 又因為 ?A A= A E ，所以有 2 2 2 2 2()a b c d? ? ? ? A = A E，且 0?A ， 即 42 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) ( )a b c d a b c d? ? ? ? ? ? ?A = A A = A E 于是有 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a b c d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A . 8. 已知線性變換 1 1 2 1 1 22 1 2 3 2 1 33 1 2 3 3 2 32 , 3 ,2 3 2 , 2 ,4 5 。(2) ?AB BA ； (3) 22( ) ( )? ? ?A + B A B A B嗎 ? 【解】 (1) 2422。 (4) 332 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3 11( ) ( ) ( ) i j i jija x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (5) 11 12 12 1321 22 22 2331 32 32 33a a a aa a a aa a a a?????????。6 4 2 09 6 3 0????????????? (2) 531????????????。( 2 ) 2 4 8 3 。 18.1 2 2 1 1 2 1 20 1 3 3 0 1 2 3DDDD??? ? ? ??? ? ? ? ?? 故原方程組有惟一解，為 31 2 41 2 3 41 , 2 , 2 , 1 .DD D Dx x x xD D D D? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 51 2 3 4 52) 66 5 , 15 07 , 11 45 , 70 3 , 39 5 , 21 2.15 07 22 9 37 79 21 2, , , , .66 5 13 3 35 13 3 66 5D D D D D Dx x x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 13. λ和 μ為何值時，齊次方程組 1 2 31 2 31 2 30,0,20x x xx x xx x x???? ? ???? ? ???? ? ?? 有非零解 ? 【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式 110,111 2 1???? 即 (1 ) 0.???? 故 0?? 或 1?? 時，方程組有非零解 . 14. 問：齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 40,2 0 ,3 0 ,0x x x a xx x x xx x x xx x a x b x? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 有非零解時， a,b 必須滿足什么 條件？ 【解】該齊次線性方程組有非零解， a,b 需滿足 1 1 11 2 1 1 0,1 1 3 111aab?? 即 (a+1)2=4b. 15. 求三次多項式 230 1 2 3()f x a a x a x a x? ? ? ?，使得 ( 1 ) 0 , (1 ) 4 , ( 2) 3 , ( 3 ) f f f? ? ? ? ? 【解】根據(jù)題意，得 0 1 2 30 1 2 30 1 2 30 1 2 3( 1 ) 0 。 36 。 試求 41 42AA? 與 43 44AA? ，其中 4jA 為行列式 4D 的第 4 行第 j 個元素的代數(shù)余子式 . 【解】 4 1 4 241 422 3 4 1 3 4( 1 ) ( 1 ) 3 9 1 2 .3 4 4 3 4 45 6 7 1 6 7AA ??? ? ? ? ? ? ? ? 同理 43 44 1 5 6 9 .AA? ? ? ? ? ? 12. 用克萊姆法則解方程組 . (1) 1 2 31 2 3 41 2 3 42 3 4 5 ,2 1 , 2 2 , 2 3 3.x x xx x x xx x x xx x x? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? (2) 121 2 32 3 43 4 5455 6 1 , 5 6 0 , 5 6 0 , 5 6 0 , 5 1.xxx x xx x xx x xxx???? ? ? ???? ? ??? ? ? ?????? 【解】方程組的系數(shù)行列式為 1 1 1 0 1 1 1 0 1 3 1 1 3 12 1 1 1 0 1 3 1 18 0 。 21 0 1 1 0 1 1 1( 3 ) ( 1 ) 11 1 0 1 100 1 0 11。 (2) D=12. 6. 計算下列各行列式 . (1)2 1 4 13 1 2 11 2 3 25 0 6 2?????； (2) ab ac aebd cd debf cf ef????? ? ?； (3)1 0 01 1 00 1 10 0 1abcd???； (4) 1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3. 【解】 (1) 125 0 6 23 1 2 1 01 2 3 25 0 6 2rrD ???? ???。 1)= 0+1+2 +… +(n?1)= ( 1)2nn? 。 (3) τ (n(n?1)… 3178。線性代數(shù)習題及答案 習題一 1. 求下列各排列的逆序數(shù) . (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n(n?1)… 321； (4) 13… (2n?1)(2n)(2n?2)… 2. 【解】 (1) τ (341782659)=11。 (2) τ (987654321)=36。 2178。 (4) τ (13… (2n?1)(2n)(2n?2)… 2)=0+1+… +(n?1)+(n?1)+(n?2)+… +1+0=n(n?1). 2. 略 .見教材習題參考答案 . 3. 略 .見教材習題參考答案 . 4. 本行列式 45 1 2 3121 2 31 2 2xxxDxxx? 的展開式中包含 3x 和 4x 的項 . 解 ： 設 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4()4 1 2 3 4( 1 ) i i i i i i i ii i i iD a a a a???? ，其中 1 2 3 4, , ,i i i i 分別為不同列中對應元素的行下標，則 4D 展開式中含 3x 項有 ( 2134 ) ( 4231 ) 3 3 3( 1 ) 1 2 ( 1 ) 3 2 ( 3 ) 5x x x x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4D 展開式中含 4x 項有 ( 1234 ) 4( 1 ) 2 2 10x x x x x?? ? ? ? ? ?. 5. 用定義計算下列各行列式 . (1)0 2 0 00 0 1 03 0 0 00 0 0 4； (2)1 2 3 00 0 2 03 0 4 50 0 0 1. 【解】 (1) D=(?1)τ (2314)4!=24。 (2) 1 1 1 41 1 1111D a b c d e f a b c d e f??? ? ??????。b cD a a b c dcc dddda b c d a b a d c d?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ????? ? ? ? ? 321 2 2 11 3 3 1 4 21 4 4 1210 2 3 4 10 2 3 4 10 2 3 410 3 4 1 0 1 1 3 0 1 1 3( 4) 160 .10 4 1 2 0 2 2 2 0 0 4 410 1 2 3 0 1 1 1 0 0 0 4rrc c r rc c r r r rc c r rD???? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 7. 證明下列各式 . (1) 2222 2 ( )1 1 1a ab ba a b b a b? ? ?； (2) 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( 1 ) ( 2 ) ( 3 )