【正文】 第一章 行列式 二階、三階行列式一、計算下列行列式二、解方程解：計算行列式得，因此解：計算行列式得，得，因此 n階行列式定義及性質一、計算下列行列式 將第4列乘以1加到第一列得 將第4行全部加到第1行 將第1行乘以1加到第4行二、計算下列行列式 第1行加到第3行 按第1列展開 按第4行展開 按第1行展開 第1列乘以1加到第4列 第2列乘以1加到第4列計算下列n階行列式： 按第1列展開 將第…、n行全部加到第1行 第1行乘以1加到以下各行 范德蒙行列式已知，計算 和 .解：將上式設為，此式設為，可直接計算此行列式結果為3，也可按以下方法來做：題目中的原行列式設為由行列式的性質得：則：三、解下列方程解：第1行乘以1加到4行，得將3列加到第4列得將第3行交換，4行交換后得上三角形行列式，因此，因此，解：此行列式是范德蒙行列式，得因此，解：由行列式的加法則，再相加，此行列式為范德蒙行列式得因此 克萊姆法則一、解線性方程組解：，解得解：，解得二、求一個二次多項式使得解：設，解得三、已知線性方程組只有零解，求的取值范圍．解：系數行列式為，因此四、設線性方程組有非零解，則應取何值？若線性方程組的右端變?yōu)?，3，2，則為何值時，新的線性方程組有唯一解？解：系數行列式為則當時方程組有非零解；若線性方程組的右端變?yōu)?，3，2，則當時方程組有唯一解．第二章 矩陣 矩陣定義及其運算一、填空題設為三階方陣，且，則. 說明：的充分必要條件是.二、選擇題設都是階矩陣，則的充分必要條件是（ C ）.(A) (B) (C) AB=BA (D) 設都是階矩陣，則（ C ）.(A) (B) (C) (D) 設為階矩陣，若，則等于（ C ）.(A) (B) (C) (D) 說明：由題意知矩陣與不能交換，因此只有（C）正確．設都是階對稱矩陣，則下面四個結論中不正確的是（ B ）.(A) 也是對稱矩陣(B) 也是對稱矩陣(C)(m為正整數) 也是對稱矩陣 (D)也是對稱矩陣理由：，因此（B）錯誤．三、設,為二階單位陣，滿足, 求.解：由得，即，兩邊取行列式得，而，因此．四、已知，，求．結果為已知，求．結果為 已知，求，．結果為 計算，結果為0 計算 五、設 證明：當且僅當．證：必要性，已知，即，則，得．充分性，已知，則，因此． 逆矩陣一、填空題設為三階方陣，且，則 4 ， 4 ，．說明：，設為矩陣，為矩陣，則 8 ．說明：設為矩陣，則是可逆的 充分必要 條件．已知，且可逆，則=．說明：等式兩邊同時左乘為三階方陣，其伴隨陣為，已知，則．說明：二、選擇題若由必能推出其中為同階方陣，則應滿足條件（ B ）（A） （B） （C） （D）設均為階方陣，則必有（ C ）（A） （B） （C） （D）三、計算題判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，求其逆矩陣.（1），可逆，（2），可逆，解矩陣方程：解：，利用逆矩陣，解線性方程組解：系數矩陣為，則，則四、設方陣滿足方程．證明：和都可逆，并求他們的逆矩陣．證：因此，和都可逆，且， 初等變換與初等矩陣一、填空題＝．說明：由于，因此二、選擇題：設為階可逆矩陣，則（ B ）（A）若，則；（B）總可以經過初等變換化為；（C）.對施行若干次初等變換，當變?yōu)闀r，相應地變?yōu)?；（D）以上都不對．說明：（B）為定理，正確；（A）少條件，若加上矩陣可逆，才能正確；（C）將“初等變換”改為“初等行變換”才正確；設，，則必有（ C ）（A） （B） （C） （D）利用初等變換求矩陣的逆矩陣逆矩陣為：逆矩陣為：逆矩陣為：其中， 將最后1行調整到第1行三、已知，求解：由于，則，由，因此．四、已知，求矩陣．解法1：由得：，即，此式兩邊同時左乘，再右乘，得 （1）再由得：，即，兩邊同時右乘，得，此式與（1）式結合得：解法2：將變形得，可得，兩邊加得：，即，則，因此．五、已知，其中，求矩陣．解：由得：，即因此，由，則，六、設，為三階可逆矩陣,求．解：，則因此， 矩陣的秩一、填空題 在秩是的矩陣中，所有的階子式都 為0 ．設是矩陣，，則 3 ．說明：可逆矩陣與其它矩陣相乘，不改變其它矩陣的秩．從矩陣中劃去一行得到矩陣，則的秩的關系為．設, 秩，則 3 ．說明： 將4行加到第一行，再從第一行提出公因子 將第1行乘以1加到以下各行，因此當或時，但時顯然，因此．設, 秩，則 1 ．說明：二、求下列矩陣的秩三、設，1）求；2）求秩（要討論）．解：則當時，；當時，；當時，．四、討論矩陣的秩．解：當且、時，；其它情況，．第三章 向量 向量的概念及其運算已知,求， 及.結果： 已知,滿足 ，求.結果：設，其中，，求．結果：寫出向量的線性組合，其中：（1）（2）結果：1） 2）已知向量組，問：向量是否可以由向量線性表示？若可以，寫出其表達式；解：設即可得方程組：，用克拉默法則可得：，則向量可以由向量線性表示，． 線性相關與線性無關