[理學(xué)]線性代數(shù)第一講(已修改)
2025-01-31 15:16 本頁(yè)面
【正文】 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 1 線性代數(shù) 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 2 線性代數(shù) 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 3 第一講 n 階行列式的定義 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 4 第一章 行 列 式 在初等數(shù)學(xué)中 ,我們用代入消元法或加減消元 法求解二元和三元線性方程組，可以看出，線性 方程組的解完全由未知量的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)所確定． 為了更清楚地表達(dá)線性方程組的解與未知量的系 數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系，我們?cè)诒菊孪纫攵A和三 階行列式的概念，并在二階和三階行列式的基礎(chǔ) 上，給出 n 階行列式的定義并討論其性質(zhì)，進(jìn)而 把 n 階行列式應(yīng)用于解 n 元線性方程組． 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 5 主要內(nèi)容 １ ． n 階行列式的定義、性質(zhì)及其計(jì)算 . ２． 克拉默法則． 重點(diǎn)內(nèi)容 行列式的計(jì)算 行列式是一種常用的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科 中都有著廣泛的應(yīng)用． 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 6 第一個(gè)單元 二階與三階行列式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 7 在討論 n 階行列式之前，先簡(jiǎn)單回顧一下 一 、 二階行列式 引例 1 用消元法解二元線性方程組 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa （１） 二階和三階行列式． 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 8 ?????????.)(,)(211211221122211212221121122211abbaxaaaabaabxaaaa解 用加減消元法，可得 當(dāng) a11a22 a12a21 ? 0 時(shí) ， 求得方程組 （１） 的解為 ?????????????.,211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx（２） 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 9 為了記憶該公式，引入記號(hào) 2112221122211211 aaaaaaaa??并稱之為 二階行列式 ． 稱 aij 為行列式的 (i , j )元素 或 元 ． 第二個(gè)下標(biāo)稱為 列標(biāo) ， 表示該元素所在的列，常 置，第一個(gè)下標(biāo)稱為 行標(biāo) ， 表示該元素所在的行， 素 ， aij 的兩個(gè)下標(biāo)表示該元素在行列式中的位 其中 aij 稱為行列式的 元 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 10 由二階行列式的定義 ， (2) ,222121212221 ababbaab ?? .221111211211 babaabba ??若記 則當(dāng) Ｄ ?０時(shí)，方程組 (1) ,22211211aaaaD ? ,2221211 ababD ? ,2211112 babaD ?.22 DDx ?,11 DDx ?注意 ： Ｄ 稱為系數(shù)行列式， Ｄ j是用常數(shù)項(xiàng) b1, b2替換 Ｄ 中的第 j 列 (j=1,2). 子也可寫(xiě)成二階行列式，即 有唯一解 式中 x1， x2 的分 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 11 二 、 三階行列式 引例 2 用消元法解三元線性方 程組 11 1 12 2 13 3 121 1 22 2 23 3 231 1 32 2 33 3 3a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ???? ? ???? ? ??解 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 12 )4(,322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa??????為了記憶三元線性方程組的求解公式 ,可引入 三階行列式 . 三階行列式的定義如下 : 定義 設(shè)有 9 個(gè)數(shù)排成 3 行 3 列的數(shù)表 )3(333231232221131211aaaaaaaaa記 （ 4）式稱為數(shù)表（ 3）所確定的三階行列式 . 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 13 333231232221131211aaaaaaaaa其中每一條實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積帶正號(hào) ,每一 條虛線上的三個(gè)元素的乘積帶負(fù)號(hào) ,所得六項(xiàng)的代 數(shù)和就是三階行列式的展開(kāi)式 . 三階行列式的展開(kāi)式也可用對(duì)角線法則得到 , 三階行列式的對(duì)角線法則如下圖所示 : 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 14 例 1 計(jì)算三階行列式 .111312121?????D三 、 舉例 解 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 15 例 2 求解方程 .094321112?xx解 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 16 四 、 思考與推廣 可以證明 ,當(dāng)三元線性方程組的系數(shù)行列式不 等于零時(shí)方程組有唯一解 ,且有類似于二元線性方 程組的求解公式 ,即 xj = Dj /D , （ j = 1, 2, 3 ） . 現(xiàn)在的問(wèn)題是 ,對(duì)于 n 元線性方程組 ,是否也 有類似的求解公式 . 但要討論 n 元線性方程組 ,首 先就要把二階和三階行列式加以推廣 ,引入 n 階行 列式的概念 . 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 17 第二單元 全排列及其逆序數(shù) 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 18 一、引例 引例 用 1， 2， 3三個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi) 有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 在數(shù)
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