[高等教育]線性代數(shù)第十五講(已修改)
2025-01-31 19:05 本頁面
【正文】 返回 HOMEWORKS 第三節(jié) 向量組的秩 ?最大線性無關向量組 ?矩陣的秩與向量組秩的關系 ?例題 ?小結 返回 HOMEWORKS 12: , , , mA a a a ? 12( , , , )mA a a a?12( , , , ) ( ) .AmR R a a a R A??定理 2： 向量組 12: , , , lB b b b能由向量組 12: , , , mA a a a 線性表示 12( , , , )mR a a a 1 2 1 2( , , , , , , , )mlR a a a b b b?? 既可理解為矩陣的秩 ,也可理解成向量組的秩 . 定理 3 1 2 1 21 2 1 2: , , , : , , ,( , , , ) ( , , , )lmlmB b b b AR b b b R? ? ?? ? ??向 量 組 能 由 向 量 組線 性 表 示 ， 則返回 HOMEWORKS ., : ,: 1010sraaAAbbBBsr?要證的一個最大無關組為組向量的一個最大無關組為設向量組??:證定理 3?:若向量組 B能由向量組 A線性表示，則 RB?RA. ., 00組線性表示組能由組線性表示組能由組線性表示組能由因AAABBB.00 組線性表示組能由故 AB根據(jù)定理 3,有 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) ,rsR b b b R a a a?故 r?s。 等價的向量組的秩相等。 推論 問：反之是否成立？ ., 等價與向量組秩相等，證明向量組且它們的線性表示能由向量組設向量組BAAB例 2 返回 HOMEWORKS 例 3： 結論 .,:,:2121srsr?????則必有線性無關，線性表示，若向量組可由向量組設向量組????????例 1 2 3 1 21 1 22 1 23 1 21 2 3, , , ,252,n ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????????? ???如果 維向量組 與 滿足下面的關系式則向量組 一定線性_ _ _ _ _ _ _ _ .相關 .,:,:2121線性相關時，則向量組線性表示，當可由向量組設向量組?????srsr????????返回 HOMEWORKS ?????????????????97963422644121121112 A設矩陣.用最大無關組線性表示屬最大無關組的列向量無關組，并把不的列向量組的一個最大求矩陣 A例 4 行階梯形矩陣施行初等行變換變?yōu)閷? A解 A ，?????????????????00000310000111041211初等行變換 ~ ，知 3)( ?AR返回 HOMEWORKS ., 421 無關組為列向量組的一個最大故 aaa~ 2 1 1 1 21 1 2 1 4 4 6 2 2 43 6 9 7 9A?????????????1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 0?????????r?), 421 aaa（?????????????????7632641111121 0 00 1 00 0 1000???????? ~ r線性無關，故知 421421 ,3),( aaaaaaR ?返回 HOMEWORKS ~ 2 1 1 1 21 1 2 1 4 4 6 2 2 43 6 9 7 9A?????????????1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 0??????
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