【正文】 一 ,填空 (3分 /題 ) 11 2 1 21 , , , , , ( )kkA A A A A A ? ?設(shè) 是 可 逆 矩 陣 則1 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1, , , , ( )k k k kA A A A A A A A A A? ? ? ? ???是 可 逆 矩 陣 則線性代數(shù)復(fù)習(xí) 1 1 1 11 2 1kkA A A A? ? ? ??2 3 4? ? ?? ? ?2 , ( 3 , 5 , 4 ) , ( 6 , 1 , 2 ) , ( 0 , 3 , 4 ) ,? ? ?? ? ? ? ? ?已 知 則( 1 2 , 1 , 2 )??*3 , , 2A n A A ?設(shè) 是 階 方 陣 為 的 伴 隨 矩 陣 , 且 A1*( 2 ) 3AA? ??則 行 列 式* d e t ( )A A A I?? *1d e t ( )A A A ??2A ??由 * 1 1d e t ( ) 2A A A A????111() kk A A???? 1112( 2 )AA????1 * 1 1 13122( 2 ) 3 2A A A A A? ? ? ?? ? ? ? ?1 * 1( 2 ) 3 2A A A????1 1nAk A k A a n d A?? ? ?1 * 1 1 1( 2 ) 3 2 2 2nnA A A A? ? ? ?? ? ? ?*1, 3 2 , 3 , 2 _ _ _ _ _ _ _A B A B A B ?? ? ? ?339。 、 設(shè) 均 為 階 方 陣 ， 且 則* 1 3 * 122A B A B???解： * 1 *883A B A?? ? ?*3 28AA A I? ? ?* * *2AA A A A??* 4A ?* 3223AB ??4 , ,A n A設(shè) 是 階 方 陣 則 是 負(fù) 定 矩 陣 的 充 要 條 件 是 A 的 順 序( 1 , 2 , , ) :iP i n?主 子 式 滿 足0 ( 0 (iiP i P i??當(dāng) 為 奇 數(shù) 時(shí) ), 當(dāng) 為 偶 數(shù) 時(shí) )112115 , ( 2 , 3 , 1 ) :y zxMl ???? ? ? ?求 過(guò) 點(diǎn) 向 直 線 所 作 作 垂 線 的( 2, 3, 1) ( 2, 1 , 1 )l ?過(guò) 點(diǎn) 以 的 方 向 向 量 為 法 向 量 的 平 面211xtl y tzt???????? ???的 參 數(shù) 方 程 為方 程 是: 2 ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) 0 2 2 0x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方 程 為 化 簡(jiǎn) 為4 2 1 2 0t t t? ? ? ? ? ? ?代 入 的 方 程 :16t ?5411 366( , , )lM? ??故 與 的 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為1 3 52366( , , ) //( 4 , 1 3 , 5 )1MM ? ? ? ? ?故 垂 線 的 方 向 向 量 為3 124 1 3 5 .y zx ? ??????故 垂 線 的 方 程 為1 2 1 2 1 26 , [ , 2 , 3 ] , [ , , ] , , ,AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???設(shè) 其 中 , 均 為 3 維1 2 1 2 1 2: [ , 2 , 3 ] [ , , ] [ , , 2 ]AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?解1 2 1 212 ( ) 2 ( ) 2 ( )11, 2 , , 2 , 326 6B B A B? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 8 , 2 , AB? ? ? ?列 向 量 , 且 AB 則1 2 1 2 1 2 1 2, , 2 2 , , 2 ( , , , , )AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?12 ( 1 8 2 ) 26? ? ? ?2218 , 4 , ( )A n A A I O A I ?? ? ? ? ?設(shè) 為 階 方 陣 且 則2: 4 ( 2 ) ( ) 2A A I O A I A I I? ? ? ? ? ? ? ?解1 1( ) ( 2 )2A I A I?? ? ?1 ( 2 )2 AI?1 2 31 2 31 2 309 , 0 .0x x xx x xx x x????? ? ???? ? ??? ? ? ??設(shè) 方 程 組 有 非 零 解 , 則)2()1(2311111123??????????????A,21 ??? or21 0 , 2 3 , 5 0 ,A A A A??設(shè) 是 秩 為 的 階 實(shí) 對(duì) 稱 矩 陣 且 則 的 特 征: 3 0AA ? ? ?解 為 階 矩 陣 , 其 秩 為 2A 有 一 個(gè) 特 征 值 為 02 5 ( 5 ) 0A A O A A I? ? ? ? ? ?值 為( ) ( 5 ) 3R A R A I? ? ? ?( 5 ) 1R A I? ? ?| 5 | 0AI? ? ?5 A? 為 的 二 重 特 征 值 ,05or ?? ?2221 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 33 , ( , , ) 2 2 2f x x x x x x x x x x x x?? ? ? ? ? ?設(shè)二次型,),( 321 正定時(shí)則當(dāng) xxxf? ,),( 321 負(fù)定時(shí)則當(dāng) xxxf?的正慣性系數(shù)為時(shí)則當(dāng) ),(,0 321 xxxf??2?? 1???2二 次 型 的 正 定 性 與 其 矩 陣 的 正 定 性 是 一 致 的,對(duì) 稱 矩 陣 的 正 定 性 是 被 其 特 征 值 的 正 定 性 完 全 決 定 的11: 1 111A??????????? ???所 給 二 次 型 的 矩 陣 為1 1 1 11 1 1 1 01 1 1 1tttI A t t ttt??? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?其 特 征 多 項(xiàng) 式 為1 1 1 1 1( 1 ) 1 1 0 ( 1 ) 0 1 01 1 2 1tttttt??????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?211( 1 ) ( 1 ) ( 2 )2tt t tt?? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???: 1 ( ) 2A ??? ? ?的 特 征 值 為 二 重 與2? ?當(dāng) 時(shí) 二 次 型 的 特 征 值 全 為 正 二 次 型 為 正 定 二 次 型1? ??當(dāng) 時(shí) 二 次 型 的 特 征 值 全 為 負(fù) 二 次 型 為 負(fù) 定 二 次 型0 2 ,2? ?當(dāng) 時(shí) 二 次 型 有 個(gè) 特 征 值 全 為 正 二 次 型 的 正 慣 性系 數(shù) 為2221 2 3 1 2 2 31 2 , 2 2x x x x x t x x t? ? ? ? ?若 二 次 型 2 的 秩 為 2, 則:22 1 0A = 1 1 t0 t 1???????????解 二次型的矩陣為 的秩為222 2 1 1 2 02 1 01 1 t t t0 t 1? ? ? ? ? ? ?22t ??1 3 , 3 ,A ??設(shè) 是 階 實(shí) 對(duì) 稱 矩 陣 特 征 值 是 0,1,2, 如 果 =0 與 =1A由實(shí)對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)知 的對(duì)應(yīng)于特征值0, 1, 2的特征( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 0 ) , 2TT ???的特征向量分別為 與 則 的特征向量為?相互正交2 ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 0 ) :TT? ? ? ?對(duì)應(yīng)于 的特征向量平行于 或滿足1 2 31200x x xxx? ? ???????方程 1122( , , 1 )k ??特征向量為1 2 21 4 , 4 3 , 0 ,3 1 1A a B A B a?????? ? ??????設(shè) 為 3 階 非 零 矩 陣 , 且 則iB B B??由 為 非 零 矩 陣 有 一 列 向 量 00 0 0 0iAB AB Ax A? ? ? ? ? ? ? ?又 有 非 零 解1 2 24 3 7 21 03 1 1A a a?? ? ? ? ??3a ??, 3 / )二 單 項(xiàng) 選 擇 題 ( 分 題( ) 1,A ( ) 2B1.???????????1 2 4(1) 當(dāng) = ( ) 時(shí) , 矩 陣 A = 2 8 的 秩 為3 6 + 8( ) 3C ( ) 4D12D( ) 1 2 0 4( ) 1 0 4R A r rR A A??? ? ? ?? ? ?????答 案 ： （ ）方 法 1：方 法 2：方 法 3： 代 入 ( A ) 、 ( B ) 、 ( C ) 、 ( D ) 依 次 檢 驗(yàn) 即 得)(,0,2 3 則且階方陣是若 ?AnA.10,0)( 3 的特征值也不是的特征值不是 AAA.10,0)( 3 的特征值不是的特征值是 AAB.10,0)( 3 的特征值也是的特征值是 AAC.10,0)( 3 的特征值不能判斷是否為的特征值不是 AAD,: 33 的特征值是的特征值是由方陣特征值的性質(zhì)知 AA ???????? 0: 33 滿足的特征值知由題中條件 AOA成立的特征值不是的特征值是 .10,0)( 3 AAB()A r s? ()B r s?1 2 1 2, , , , , ,