【正文】 (2) 如果存在兩個(gè)等式 k1?1+k2?2+… +km?m=0, l1?1 + l2?2 +… +lm?m=0, 其中 l1 ? 0, 則 .2211mmlklklk ??? ? k1?1+k2?2+… +ki1?i1+ki+1?i+1+… +km?m=0 由于這 m－ 1個(gè)向量線性無關(guān) , 故這些系數(shù)全為零 . 所以 , 系數(shù) k1, k2, … , km或者全為零 , 或者全不為零 . (2) 由于 l1≠0, 由 (1)知 l1, l2,… , lm都不為零 . (2) 如果存在兩個(gè)等式 k1?1+k2?2+… +km?m=0, l1?1 + l2?2 +… +lm?m=0, 其中 l1 ? 0, 則 .2211mml
。 (3) (4, 5, 2, 6), (2, 2, 1, 3), (6, 3, 3, 9), (4, 1, 5, 6)。 解 因?yàn)橄蛄拷M是正交向量組 , 故線性無關(guān) . (1) (1, 1, 0), (0, 1, 1), (3, 0, 0)。 (D) . 7. 設(shè) , 其中 為 任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是 [ ]. 1 2 3 41 2 3 40 0 1 10 , 1 , 1 , 1c c c c? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 4, , ,c c c c1 2 3,? ? ? 1 2 4,? ? ?1 3 4,? ? ? 234,? ? ? 解 因?yàn)? 0110110,431431 ????ccc???所以 , 向量組 ?1, ?3, ?4線性相關(guān) . 1. 設(shè) , 則 k = ______時(shí) , ?1, ?2, ?3, ?4線性相關(guān) )1,2,0,1(),1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2( 4321 ????????? ???? k所以， k=5/13時(shí) , ?1, ?2, ?3, ?4線性相關(guān) . 19/2 二 . 填空題 5/13 解 由于 120110103245012?????k k135??kkk210011011350005012??????2. 當(dāng) k = _____時(shí) , 向量 ? =(1, k, 5)能由向量 線性表示 . ),2,3,2(1 ???)1,1,2(2 ??? 解 由于 9?18?2=(2, 19, 10)，所以 , 2k=19線性相關(guān) . 4. 設(shè)向量組 線性無關(guān) , 則a, b, c必滿足關(guān)系式 . 1 2 3( , 0 , ) , ( , , 0) , ( 0 , , )a c b c a b? ? ?? ? ?所以， R(?1, ?2, ?3, ?4)=4 abc≠0 4 解 由于 ?????????????????140113130210512012211 解 由于 ，所以， abc≠0. 3. 設(shè) , 則秩 (?1, ?2, ?3, ?4 )= ______. )1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1( 4321 ??????? ??????????????????????222009000010512012211~02000?? abcbacbca 解 (1) 3?1+5?2－ ?3=(1, 4, － 25, 7) 2. 設(shè)向量組 ?1, ?2, ?3線性相關(guān) , ?2, ?3, ?4線性無關(guān) , 問 (1) ?1能否由 ?2, ?3線性表出 ? 證明你的結(jié)論 。 (B) 。 (D) 該向量組的極大線性無關(guān)組是唯一的 . 習(xí)題三（ 63頁） 2. 已知向量組 ?1,?2, … ,?m線性相關(guān)，則 [ ]. C 一 . 選擇題 A 1. n維向量組 ?1,?2, … ,?s線性無關(guān)的充分必要條件是 [ ]. (A) 該組中任意一向量都不能用其余向量線性表出； (B) 該組中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)； (C) 該組中存在一個(gè)向量 , 它不能用其余向量線性表出 。第三組 , 2～ 3歲 . 動(dòng)物從第二年齡組起開始繁殖后代 , 經(jīng)過長期統(tǒng)計(jì) , 第二組和第三組的繁殖率分別為 4和 3只 . 第一年齡和第二年齡組的動(dòng)物能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為 1/2和 1/4. 假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各 1000只 , 問 2年后和 3年后農(nóng)場三個(gè)年齡組的動(dòng)物各有多少只 ? 解 用 xi, yi, zi分別表示第 i年后三個(gè)年齡組動(dòng)物只數(shù) , 則， ??????????????????????????????????iiiiiizyxzyx04/10002/1340111故 , 2年后為 (2750,3500,125), 3年后為 (14375,1375,875). ?????????????????????1 0 0 01 0 0 01 0 0 0000zyx (A) 該向量組的任何部分組必線性相關(guān) 。 (4)A1. 19. 設(shè) 5 2 0 0 3 2 0 02 1 0 0 4 5 0 0,0 0 8 3 0 0 4 10 0 5 2 0 0 6 2AB? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 解 1 9 8 0 03 0 1 3 0 0,0 0 3 7 1 40 0 5 8 2 2?????????BA4 1 2 0 02 0 4 0 0,0 0 1 3 00 0 2 6 1 3??????????????A B BA 11 2 0 02 5 0 0.0 0 2 30 0 5 8?????????? ????A 20. 設(shè)對角矩陣 A=diag(a1, a2,… , an), 其中 ai?aj(i?j), 證明 :與 A可交換的矩陣一定是對角矩陣 . 證明 設(shè)矩陣 B=(bij)與矩陣 A可交換 , 即 AB=BA, 則 (AB)ij=(BA)ij, 即 aibij=bijaj 由于 ai?aj, 所以 bij=0, (i?j), 所以 , B是對角矩陣 . 21. 某農(nóng)場飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為 3歲 , 將其分成三個(gè)年齡組 : 第一組 , 0～ 1歲 。 (2)BA。432543321,???????????B 解 由于 A的三行減二行 2倍得 B, 所以 P=E[3+2(2)]. ,304112211)2(??????????? －A 。 (D)|A－ E|≠0,且 |A+E|≠0。 |A＋ E||A－ E|=|E|=1， 所以 , 應(yīng)選 “ D ”。||)( 5*4*** GGDGGCGGBGGA ????C D 6. n階矩陣 A滿足 A2＝ O, E為 n階單位矩陣 , 則 [ ]. 解 由于 (A－ E)(A+E)=A2－ E=E, 所以 (A)|A－ E|≠0, 但 |A+E|=0。||||)(。4)(。30)( ?? DCBA 3. 設(shè) A是 4階方陣 , 且 |A|=8, B=1/2A, 則 |B|= [ ]. D .21)(。8 1 0)(。 (D) P2P1－ 1. 所以 , A＝ BP1－ 1 所以 , 應(yīng)選 “ D ”。 (B) P1－ 1P2。 (D) . ????????OABO**23????????OABO**32 ????????OBAO**23????????OBAO**32 解 由于 AA*=|A|E=2E, BB*=|B|E=3E, 所以有： 所以 , 應(yīng)選 “ B ”。 (B) 。01513)1( ?????xx 。1,0,1,1)( 4321 ????? xxxxB。 (D) 1. C 3. 方程組 有解 : [ ]. C 二、填空題 ??????????????????????1 2 51 2 564278 2525 1694 55 4 3 2 1 + 4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx。 (B) 2。 (C) 0。一、選擇題 1． n階行列式 等于 [ ]. 習(xí)題一（ 26頁） (A) 1。 (B) (1)n1。 (D) 1. B 0111101111011111??????????D 2．行列式 等于 [ ]. 2 1 4 13 1 2 11 2 3 25 0 6 2?? ??? (A) 1。 (C) 0。0,2,1,0)( 4321 ????? xxxxA 。1,0,0,0)( 4321 ???? xxxxC .1,1,0,0)( 4321 ???? xxxxD. 000100000100100 1． 4階行列式 等于 [ ]. 1 2. 行列式 中元素 a11的代數(shù)余子式等于 [ ]. 6 3.