線性代數(shù)二次型習(xí)題及答案-展示頁
2025-07-07 22:10本頁面
【正文】 可逆變換為在此可逆線性變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為. 27．用初等變換和配方法分別將二次型 （1） （2）化成標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，并分別寫出所作的合同變換和可逆變換. 解：先用配方法求解 （1） 令 即 令 則二次型經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形 若再令 即 令 則原二次型經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形. （2）先線性變換原二次型化成 令，即. 令，則原二次型經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形 若再令 即 令 則原二次型經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形. 用初等變換法求解 （1）設(shè) 令 ， 則原二次型經(jīng)過可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形. 二次型經(jīng)過可逆線性變換化成規(guī)范形. （2）設(shè) 令 ， 則原二次型經(jīng)過可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形二次型經(jīng)過可逆線性變換化成規(guī)范形 28．用三種不同方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形. （1） （2） 解：先用配方法求解 （1） 令 即 令 則二次型經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形 若再令 即 令 原二次型經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形. （2） 令 即 令 則二次型經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形 若再令 即 令 原二次型經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形.用初等變換法求解 （1）設(shè) 令 則原二次型經(jīng)過可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形. 二次型經(jīng)過可逆線性變換化成規(guī)范形. （2）設(shè) 令 則原二次型可經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形. 可經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形用正交變換法求解 （1）的矩陣為，由 ，知的特征值為1,2,5.對，解，得，取，單位化，對，解，得，取，對解，得 取，單位化得，令 ，則為正交陣，經(jīng)正交變換，原二次型化為. （2）的矩陣為 由 知的特征值為.對，解 得 ，取單位化得，對，解 得 . 取 單位化得 . 對，解 得 取 ， 再令 令 ，則為正交陣，經(jīng)正交變換，原二次型化為. 29．判斷下列二次型正定，負(fù)定還是不定. （1） 解：二次型的矩陣為的各階順序全子式.所以二次型是負(fù)定二次型. （2） 解：二次型的矩陣為的各階順序主子式，所以二次型是正定二次型. （3） 解：二次型的矩陣為的各階順序主子式，.所以二次型是不定二次型. 30．求一可逆線性變換，把二次型化成規(guī)范形，同時也把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形. 解：記，其中取 ，則記 ，其中則 其中 顯然都是實對稱矩陣，它們的特征值為倍的關(guān)系，特征向量相同. 則的特征值為，故的特征值為.以下求的特征向量. 對于，求得，單位化后 對于，求得 由Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化后得 令 . 則為正交矩陣，且有 令 于是 即 在可逆線性變換下.（注：經(jīng)驗算本題所得是正確的，需要注意的是并不惟一） 31．求一可逆線性變換，
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