【文章內(nèi)容簡介】 3231232221131211 ?? Maaaaaaaaa ，則行列式??????????232221333231131211222222222aaaaaaaaa A 。 A． M8 B． M2 C． M2? D． M8? 由于 ? ? ? ?1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 333 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 32 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 22 2 2 2 8 ( 1 ) 82 2 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a Ma a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 設(shè) n 階行列式 nD ，則 0nD? 的必要條件是 D 。 A． nD 中有兩行 (或列 )元素對應(yīng)成比例 B． nD 中有一行 (或列 )元素全為零 C． nD 中各列元素之和為零 D．以 nD 為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解 對任意同階方陣 ,AB，下列說法正確的是 C 。 A. 111)( ??? ? BAAB B. BABA ??? C. TTT ABAB ?)( BA? 設(shè) ,AB為同階可逆矩陣， 0?? 為數(shù)，則下列命題中不正確的是 B 。 A. 11()AA??? B. 11()AA????? C. 1 1 1()AB B A? ? ?? D. 11( ) ( )TTAA??? 由運算法則，就有 111()AA? ???? 。 1設(shè) A 為 n 階方陣，且 0Aa?? ，則 A?? C 。 11 A． a B． 1a C． 1na? D． na 因為 111 1 1n n nA A A A A A A A A A A??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?。 1矩陣 1 2 1 03 1 0 21 2 2a?????????的秩為 2，則 a = D 。 A. 2 B. 3 通過初等變換，由秩為 2可得： 1 2 1 0 1 2 1 03 1 0 2 0 7 3 21 2 2 0 5 0 0aa? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 三、計算題 (每小題 7分，共 42分 ) 1計算行列式： 4 1 1 11 4 1 11 1 4 11 1 1 4。 解： 34 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 4 1 1 7 4 1 1 1 4 1 1 0 3 0 0==== ==== 7 ===== 7 =7 3 =1891 1 4 1 7 1 4 1 1 1 4 1 0 0 3 01 1 1 4 7 1 1 4 1 1 1 4 0 0 0 3?各列加到 第一列提 第一行乘 1到外面第一列上 加到各行上。 1計算行列式： 4433221100000000ababbaba。 解： 先按第一行展開，再按第三行展開，有： 4433221100000000ababbaba= 2 2 2 21 3 3 3 3 1 4 1 4 2 3 2 3441 ( ) ( )a b a ba b a b b a a a b b a a b bab? ? ? ?。 1問 ? 取何值時，齊次線性方程組 1 2 31 2 31 2 3(1 ) 2 4 02 ( 3 ) 0(1 ) 0x x xx x xx x x???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??有非零解。 解： 齊次線性方程組有非零解，則系數(shù)行列式為零： 12 ? ? ? ?231321 2 32( 1 )1 2 4 0 3 4 ( 1 )0= 2 3 1 = = = = = 0 1 1+ 2 3 2 , 0 , 2 , 31 1 1 1 1 1rr ???? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 1 設(shè)矩陣 2 0 1 1,3 1 2 5AB ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?，計算 2 2 1 1()B A B A??? 。 解： 因為 2, 7AB? ??，所以都可逆，有 2 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 5 2( ) ( )1 4 2 5 9 1 9B A B A B A A B B A B B A B? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?。 1解矩陣方程 AX B X?? ，求 X ，其中 A =??????????????????????????350211,101111010B。 解： 1( ) ( )A X B X A E X B X A E B?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 10 2 3 1 3( ) 1 2 3 1 30 1 3 1 3AE ???????? ? ? ? ? ???? 1 31( ) 2 011X A E B??????? ? ? ? ?????。 1設(shè)5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A????? ?????，利用分塊矩陣計算 1A? 。 解：111 1112211 1120 5 2 1 2 1 2 1 3 2 3,0 2 1 2 5 1 1 1 3 1 31 2 0 02 5 0 000 0 1 3 2 300 0 1 3 1 3AA A AAAAA??????????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????????????????????? 四 、證明題 (每小題 5分，共 10分 ) 1設(shè) n 階方陣 A 滿 足 ? ?3 0AE??，證明矩陣 A 可逆，并寫出 A 逆矩陣的表達(dá)式。 化簡方程 13 證明： 因為 ? ? 3 3 2 23 3 0 ( 3 3 )A E A A A E A A A E E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 從而 2 1 2( 3 3 ) 3 3A A A E E A A A E?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 若矩陣 TAA?? ，則稱矩陣 A 為反對稱矩陣，證明奇數(shù)階反對稱矩陣一定 不是滿秩矩陣。 證明： 設(shè) A 為 n 階 反對稱矩陣， n 為奇數(shù)，則 ( 1 ) 0T T n TA A A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 A 不可逆，即 A 不是滿秩矩陣。 第二套線性代數(shù)模擬試題解答 一、 填空題 (每小題 4 分，共 24 分 ) A 為 3階方陣 ,且 2,A?? *A 是 A 的伴隨矩陣 ,則 1*4AA? ? = 4 。 因為： 1 1 1 1 1 1 12 4 4 2 2 8 4A A A A A A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 A 為 5 3矩陣 ,秩 (A )=3,B? ??????????300020201 ,則秩 (AB )= 3 。 因為 B 可逆， AB 相當(dāng)于對 A 作列初等變換，不改變 A 的秩。 1 2 1 2 3, , , ,? ? ? ? ?均為 4 維列向量， 1 1 2 3( , , , )A ? ? ? ?? ， 2 1 2 3( , , , )B ? ? ? ?? ， 1A? ， 4B? ，則 AB? = 40 。 ? ?1 2 1 2 3 1 2 1 2 31 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3( , 2 , 2 , 2 ) ( , 2 , 2 , 2 )8 , , , ) 8 , , , , , , 8 ( 1 4) 40A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?