【文章內(nèi)容簡介】 2 = 4 ． 當(dāng) l1 = 2 時(shí)， 對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 ，即 解得基礎(chǔ)解系 ． 3113A?????????2231| | ( 3 ) 1 8 6 ( 4 ) ( 2 )13AEll l l l l ll??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???123 1 012302xx? ??? ? ? ??????? ? ? ??? ? ? ???121 1 01 1 0xx? ??? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ???111p???????k p1（ k ≠ 0） 就是對應(yīng)的特征向量． 例： 求矩陣 的特征值和特征向量． 解： A 的特征多項(xiàng)式為 所以 A 的特征值為 l1 = 2， l2 = 4 ． 當(dāng) l2 = 4 時(shí)， 對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 ，即 解得基礎(chǔ)解系 ． 3113A?????????2231| | ( 3 ) 1 8 6 ( 4 ) ( 2 )13AEll l l l l ll??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???123 1 014304xx? ??? ? ? ??????? ? ? ??? ? ? ???121 1 01 1 0xx?? ??? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???211p????????k p2（ k ≠ 0） 就是對應(yīng)的特征向量． 例： 求矩陣 的特征值和特征向量． 解： 所以 A 的特征值為 l1 = ?1， l2 = l3 = 2 ． 2 1 10 2 04 1 3A???????????222 1 1210 2 0 ( 2 )434 1 3( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )AElll l llll l l l l????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?例： 求矩陣 的特征值和特征向量． 解（續(xù)）： 當(dāng) l1 = ?1 時(shí)，因?yàn)? 解方程組 (A + E) x = 0． 解得基礎(chǔ)解系 ． 2 1 10 2 04 1 3A???????????11 1 1 1 0 10 3 0 ~ 0 1 04 1 4 0 0 0rA E A El??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1101p???????????k p1（ k ≠ 0） 就是對應(yīng)的特征向量． 例： 求矩陣 的特征值和特征向量． 解（續(xù)）： 當(dāng) l2 = l3 = 2 時(shí)，因?yàn)? 解方程組 (A?2E) x = 0． 解得基礎(chǔ)解系 ． k2 p2 + k3 p3 （ k2 , k3 不同時(shí)為零） 就是對應(yīng)的特征向量． 2 1 10 2 04 1 3A???????????4 1 1 4 1 12 0 0 0 ~ 0 0 04 1 1 0 0 0rAE??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?23100 , 141pp? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?二、基本性質(zhì) ? 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算） ． ? 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, …, ln，則 ?l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ?l1 l2 … ln = |A| ? 若 l 是 A 的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 就是對應(yīng)于特征值為 l 的全體特征向量的最大無關(guān)組． 例： 設(shè) l 是方陣 A 的特征值，證明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 當(dāng) A 可逆時(shí)， 1/l 是 A?1 的特征值． 結(jié)論： 若非零向量 p 是 A 對應(yīng)于特征值 l 的特征向量，則 ? l2 是 A2 的特征值， 對應(yīng)的特征向量也是 p ． ? lk 是 Ak 的特征值， 對應(yīng)的特征向量也是 p ． ? 當(dāng) A 可逆時(shí)， 1/l 是 A?1 的特征值， 對應(yīng)的特征向量仍然是 p ． 二、基本性質(zhì) ? 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算） ． ? 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, …, ln，則 ?l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ?l1 l2 … ln = |A| ? 若 l 是 A 的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 就是對應(yīng)于特征值為 l 的全體特征向量的最大無關(guān)組． ? 若 l 是 A 的一個(gè)特征值，則 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩陣多項(xiàng)式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值． 例： 設(shè) 3 階方陣 A 的特征值為 1, ?1, 2，求 A* +3A?2E 的特征值． 解： A* +3A?2E = |A| A?1 +3A?2E = ?2A?1 +3A?2E = j (A) 其中 |A| = 1 (?1) 2 = ?2 ． 設(shè) l 是 A 的一個(gè)特征值， p 是 對應(yīng)的特征向量． 令 則 2( ) 3 2j l ll? ? ? ?11( ) ( 2 3 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 2223 2 3 2 ( )A p A A E p A p Ap pp p p p pjl l j lll??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????定理： 設(shè) l1, l2, …, lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, …, lm 各不相同，則 p1, p2, …, pm 線性無關(guān)． 例： 設(shè) l1 和 l2 是方陣 A 的兩個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征 向量依次為 p1 和 p2， 證明 p1 + p2不是 A 的特征向量． 167。 3 相似矩陣 定義： 設(shè) A, B 都是 n 階矩陣， 若有可逆矩陣 P 滿足 P ?1AP = B ， 則 稱 B 為矩陣 A 的 相似矩陣 ，或稱矩陣 A 和 B 相似． 對 A 進(jìn)行運(yùn)算 P ?1AP 稱為對 A 進(jìn)行 相似變換 ． 稱 可逆矩陣 P 為把 A 變成 B 的 相似變換矩陣 ． 定理： 若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項(xiàng)式相同 , 從而 A 和 B 的特征值也相同． 證明： 根據(jù)題意，存在 可逆矩陣 P ，使得 P ?1AP = B ． 于是 | B ?lE | = | P ?1AP ? P ?1(lE) P | = | P ?1(A?lE ) P | = | P ?1| |A?lE | |P | = |A?lE | ． 定理： 若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項(xiàng)式相同 , 從而 A 和 B 的特征值也相同． 推論： 若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的 多項(xiàng)式 j (B) 相似． 證明： 設(shè) 存在 可逆矩陣 P ，使得 P ?1AP = B ，則 P ?1AkP = Bk . 設(shè) j (x) = cmxm + cm?1xm?1 + … + c1x + c0，那么 P ?1 j (A) P = P ?1 ?cmAm + cm?1Am?1 + … + c1A + c0 E) P = cm P ?1 Am P + cm?1P ?1 A m?1 P + … + c1 P ?1 A P + c0 P ?1 EP = cmBm + cm?1Bm?1 + … + c1B + c0 E = j (B) . 定理： 設(shè) n 階矩陣 L = diag(l1, l2, …, ln )，則l1, l2, …, ln 就 是 L 的 n 個(gè)特征值． 證明： 故 l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 個(gè)特征值． 1212( ) ( ) ( )nnElll l l lllll l ll????L ? ? ???????? ? ??定理： 若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項(xiàng)式相同 , 從而 A 和 B 的特征值也相同． 推論： 若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的 多項(xiàng)式 j (B) 相似． 若 n 階矩陣 A 和 n 階對角陣 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似，則 從而通過計(jì)算 j (L) 可方便地計(jì)算 j (A). 若 j (l) = | A?lE |，那么 j (A) = O（零矩陣） . 1 211()()( ) ( )()nA P P P Pjjjjlllj??????? L ?????可逆矩陣 P ，滿足 P ?1AP = L （對角陣） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, …, n) A 的 特征值 對應(yīng)的 特征向量 121 2 1 2( , , , ) ( , , , )nnnA p p p p p plll?????????其中 ? 4： n 階矩陣 A 和對角陣 相似 當(dāng)且僅當(dāng) A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 推論： 如果 A 有 n 個(gè) 不同的特征值，則 A 和對角陣 相似． 167。 4 對稱矩陣的對角化 定理： 設(shè) l1, l2, …, lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, …, lm 各不相同，則 p1, p2, …, pm 線性無關(guān)． （ 2） 可逆矩陣 P ，滿足 P ?1AP = L （對角陣） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, …, n) A 的 特征值 對應(yīng)的 特征向量 121 2 1 2( , , , ) ( , , , )nnnA p p p p p plll?????????其中 ? (A?li E) pi = 0 矩陣 P 的