[理學]線性代數復習提高綱領-合肥工業(yè)大學(編輯修改稿)
2025-01-04 01:18 本頁面
【文章內容簡介】 , , ,m? ? ? ?線性相關，則向量?必能由向量組12, , , m? ? ?線性表示，且表示式是惟一的 ． 16. 向量組與它的極大無關組等價； 17. 矩陣的秩等于它的列向量組 的秩，也等于它的行向量組的秩． 23 18. 設12, , , nr? ? ? ?是齊次方程組0Ax ?的基礎解系，*?是非齊次方程組A x b?的一個特解，則A x b?的通解為： *1 1 2 2 n r n rx k k k? ? ? ???? ? ? ? ?，12 , , , nrk k k R? ?． 19. 設 A 的特征值為12, , , n? ? ?，則： ① 1 2 1 1 2 2n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?； ② 12 n A? ? ?? ? ? ?； ③ 0 , 1 , 2 , ,iA E i n?? ? ?． 24 20. ,AB同型且秩相等? ,AB等價； 方陣,AB可對角化，且有相同特征值? ,AB相似； 對稱陣,AB的特征值正負個數對應相等? ,AB合同。 21. 設A x x??，則有下表： 矩陣 A 2A ()fA 1A ? *A TA 1P A P? 特征值 ? 2? ()f ? 1? ? /A ? ? ? 特征向量 x x x x x / 1Px? 25 1. 求行列式：方法一、 利用行列式的性質化三角行列式；方法二、利用性質盡可能多的化行列式的某行（列）元素為零，然后依此行（列）用 Laplace 展開。 4 基本 方法 0 1 0 06 2 2 8 2 26 4 2 2 8 23 3 0 3 3 0 4 1203 3 3 0 3 34 0 4 0 0 44 4 0 4D? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 2. 求解矩陣方程： 方法：通過矩陣運算將方程化為 ,AX B XA B AXB C? ? ?三種方式，具體運算放最后一步，注意左，右乘。 例題 1 ：2 1 1 124223 3 6 34 4 4 8 27 例 2 已知 1 0 01 1 01 1 1A?????????， 0 1 11 0 11 1 0B?????????且 1() TTX E B A B E??? ，求 X ． 解：11( ) [ ( ) ]T T TX E B A B E X B E B A E??? ? ? ? ? () TX B A E? ? ?，1 0 0( ) 1 1 01 1 1TBA?????? ? ????????， ( ) 1TBA ? ? ?，所以() TBA?可逆。 故 11 0 0( ( ) ) 1 1 02 1 1TX B A??????? ? ? ? ?????? ? ???。 3. 求矩陣的秩： A 具體時，將 rAB??? （行階梯矩陣），( ) ( )r A r B B??中非零行的行數； A 為抽象矩陣時，利用秩的不等式證明()r r A r??. 4. 討論向量組的相關性： ① 12, , , s? ? ?具體時，構造矩陣12( , , , )sA ? ? ??，比較秩與個數的關系；② . 12, , , s? ? ?抽象時，先設1 1 2 2 0ssk k k? ? ?? ? ? ?，通過恒等變形或乘法，或重組，得到12 0sk k k? ? ? ?，或 者用秩的理論判斷，12( , , , )srs? ? ? ?. 例題 3. 已知向量組（Ⅰ）：1 2 3,? ? ?； （Ⅱ）：1 2 3 4, , ,? ? ? ?；（Ⅲ）：1 2 3 4 5, , , ,? ? ? ? ?．如果各向量組的秩分別為 R （ Ⅰ ） R? （Ⅱ） 3? ， (R Ⅲ )4? ，證明：向量組 1 2 3 5 4, , ,? ? ? ? ?? 的秩為 4 ． 證明 ：( ) 3rI ?? 1 2 3,? ? ?線性無關，( ) 3r I I ?? 1 2 3 4, , ,? ? ? ?線性相關， 從而4?可由1 2 3,? ? ?線性表示， 即 4 1 2 3k? ? ? ? ? ?? ? ? 4142431 2 3 5 4 1 2 3 5( , , , ) ( , , , )c k ccccc??? ? ? ? ? ? ? ? ?????， 從而1 2 3 5 4 1 2 3 5( , , , ) ( , , , ) 4rr? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?． 5. 求 極 大 無 關組 ： 將向量 組 的 各 向量 做 為矩陣 的 列 ，12( , , , )rsAB ? ? ?? ???行階梯矩陣，向量組的秩等于矩陣 B 的秩，每個階梯上取一列（一般取階梯豎線右邊的第一列），構成極大無關組。 31 解：令1 2 3 41 4 1 0 1 0 3 02 5 1 3 0 1 1 0( , , , )1 0 3 1 0 0 0 10 5 5 1 0 0 0 0A ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? (1). 1 2 3 4( , , , ) ( ) 3r r A? ? ? ? ??，極大無關組為1 2 4,? ? ? (2). 3 1 2 430? ? ? ?? ? ? ?. 例題 4 . 設1 ( 1 , 2 , 1 , 0)??T，2 ( 4 , 5 , 0 , 5 )??T，3 ( 1 , 1 , 3 , 5 )? ? ??T
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