[理學(xué)]線性代數(shù)復(fù)習(xí)提高綱領(lǐng)-合肥工業(yè)大學(xué)(已修改)
2024-12-20 01:18 本頁面
【正文】 1 線性代數(shù)期末復(fù)習(xí) 考試規(guī)劃 1. 填空題 5 個 時間 15 20 分鐘 2. 選擇題 5 個 時間 10 15 分鐘 3. 計(jì)算題 ？個 時間不超過 10 分鐘一題 4. 證明題 ？個 時間 10 分鐘 1 基本 概念 1. 余子式ijM和代數(shù)余子式ijA， ( 1 ) ijij ijAM ???，( 1 ) ijij ijMA ???。 2. 對稱矩陣： TAA ? 。 3. 伴隨矩陣11 1*1nn nnAAAAA???????????， 組成元素ijA，書寫格式：行元素的代數(shù)余子式寫在列。 4 4. 逆矩陣A B B A E??，稱A可逆。 若A可逆，則 11AA A A E?? ?? . 5. 分塊對角陣12AOAOA??? ????， 12A A A??， 11 112AOAOA?????? ????。 6. 初等行（列）變換：① 對換兩行或兩列； ② 某行或某列乘以非零常數(shù)k； ③ 某行（列）的k倍加到另一行（列）。 5 7. 等價矩陣：① 初等變換得來的矩陣； ② 存在可逆矩陣,PQ，使得PA Q B?。 8. 初等矩陣：初等變換經(jīng)過一次初等變換得來的矩陣， ① ( , )E i j；② ( ( ))Eik；③( , ( ) )E j i k。 9. 矩陣的秩：最高階非零子式的階數(shù)。 1( ) 0 , 0kkr A k D D ?? ? ? ? ? ?。 6 10. 線性表示：存在12, , , nk k k使得1 1 2 2 nnk k k? ? ? ?? ? ? ?， 等價于非齊次方程組Ax ??有解12, , , nk k k。 11. 線 性 相 關(guān) ： 存 在 不 全 為0的數(shù)12, , , nk k k，使得1 1 2 2 0nnk k k? ? ?? ? ? ?，等價于齊次方程組0Ax ?有非零解。 12. 線性無關(guān)：1 1 2 2 0nnk k k? ? ?? ? ? ?成立1 0nkk? ? ? ?，等價于齊次方程組0Ax ?僅有零解。 7 1 3 . 極大無關(guān)組：12, , , n? ? ?中r個向量12, , , r? ? ?滿足： （ 1 ） 線性無關(guān)； （ 2 ）12, , , n? ? ?中任意向量可由其表示或12, , , n? ? ?中任意1r ?個向量線性 相 關(guān)， 則稱12, , , r? ? ?為12, , , n? ? ?的極大無關(guān)組。 14. 向量組12, , , n? ? ?可由向量組12, , , m? ? ?表示： 12, , , n? ? ?中任意一個向量可由12, , , m? ? ?表示，等價于 B X A? 有解，12( , , , )mB ? ? ??，12( , , , )nA ? ? ??。 8 15. 向量組12, , , n? ? ?與向量組12, , , m? ? ?等價：兩個向量組能相互線性表示。 16. 齊次方程組0Ax ?基礎(chǔ)解系：第一種描述：設(shè)12, , , s? ? ?是方程組的解，且滿足① 線性無關(guān)；② 任意一個解可由其表示。第二種描述：()n r A?個線性無關(guān)的解。 17. 特征值和特征向量：,0Ax x x???。 18. 相似矩陣,AB：存在可逆陣 P ，使得 1P AP B? ? 。 9 19. 相似對角化：根據(jù)方陣A，找到可逆矩陣P和對角陣?，使得 1P AP? ?? 。 20. 內(nèi)積：1 1 2 2[ , ]Tnna b a b a b? ? ? ?? ? ? ? ?。 21. 正交：[ , ] 0?? ?。 22. 正交矩陣： TA A E? 或者 1TAA ?? 。 特點(diǎn)： A 的列（行）為兩兩正交的單位向量。 23. 二次型：Tf x A x?，其中 A 為對稱陣。 10 24. 合同矩陣：存在可逆矩陣C，使得 TC AC B?，則稱,AB合同。 25. 標(biāo)準(zhǔn)型：2 2 21 1 2 2Tnnf y y y y y? ? ?? ? ? ? ? ?。 26. 正負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)型中正負(fù)系數(shù)的個數(shù)。 27. 正定二次型：0 , 0Tx f x Ax? ? ? ?。 28. 正定矩陣 A ：對稱陣 A 使得Tf x A x?為正定二次型。 11 1. 行列式按行按列展開定理： 1 1 2 2i i i i i n i nD a A a A a A? ? ?1 1 2 2j j j j nj nja A a A a A? ? ?． 逆過程： 已知ij nnDa ??，求1 1 2 2i i n inb A b A b A? ? ?． 將 D 中第i行元素?fù)Q成對應(yīng)的12, , , nb b b，得到1D，則：1 1 2 2 1i i n i nb A b A b A D? ? ? ?。 2 基本 定理 12 2. nA為可逆矩陣0A??； nA為可逆矩陣1 * * 11A A A A AA??? ? ? ?。 推論：方陣,AB滿足 A B E? ， 則： ① B A E? ；② A 可逆，且1AB???。 3. 對矩陣 A 進(jìn)行一次 初等行 （列） 變換 ，等價于在矩陣 A 的 左（右） 邊 乘以一個與之對 應(yīng)的 初等矩陣 。 4. 初等變換不改變矩陣的秩 。 13 5. 非齊次方程組mnA x b? ?有解? b可由A的列線性表示? ( ) ( , )r A r A b?；唯一解?
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