[理學(xué)]線性代數(shù)復(fù)習(xí)提高綱領(lǐng)-合肥工業(yè)大學(xué)-資料下載頁(yè)
2024-12-08 01:18本頁(yè)面
【正文】 ????，得基礎(chǔ)解系： 11201????????????????，取非齊次方程組142431,2 1 ,0,xxxxx? ? ?????????，得特解：*1100??????????????? 故：*11Xc ????， （1c為任意常數(shù)） 。 8. 方陣特征值，特征向量求法： ① 解0AE ???，得根12, , , n? ? ?， ② 解方程組( ) 0iA E x???，得基礎(chǔ)解系12, , , s? ? ?，從而得到對(duì)應(yīng)i?的特征向量為11 sskk????，其中12, , , sk k k不全為 0. 9. 方陣對(duì)角化：①0AE ???求特征值12, , , n? ? ?； ②( ) 0iA E x???得所有特征值的特征向量12, , , n? ? ?； ③令12( , , , )nP ? ? ??， 1n??????????????，則 1P AP? ?? 39 例題 7. 設(shè)矩陣 A ， B 相似，1 1 1 2 0 02 4 2 , 0 2 03 3 0 0ABab?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? (1) 求 ,ab 的值； (2) 求可逆陣 P ，使 1P AP B? ? ． 解： (1) 2 2 1 4 56 ( 1 )2 2 6 ( 1 ) 6b a aAab a b? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ??? (2) 2? ? 時(shí)， 121 1 1 1 1 1 1 12 2 2 0 0 0 1 , 03 3 3 0 0 0 0 1AE ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 40 6? ? 時(shí)， 35 1 1 1 0 1 / 3 1 / 3 12 2 2 0 1 2 / 3 2 / 3 23 3 1 0 0 0 1 3AE ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?或 則1 2 31 1 1( , , ) 1 0 20 1 3P ? ? ??????? ? ???????． 41 10. 二次型正交變換下化標(biāo)準(zhǔn)形： ① 寫出 對(duì)稱陣 A ； ② 求0AE ???，得特征值12, , , n? ? ?； ③ 將 每一個(gè)特征值i?代入( ) 0A E x???，得i?的 特征向量12, , , s? ? ?，正交單位化（一個(gè)向量時(shí)，只要單位化） 。 最終得到所有特征值對(duì)應(yīng)的（特征）向量12, , , n? ? ?； ④ 12( , , , )nQ ? ? ??，令x Q y?，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 2222211 nn yyyf ??? ???? ?。 【其中②，③，④步也為對(duì)稱陣通過(guò)正交矩陣Q對(duì)角化的步驟?！? 42 例題 8. 設(shè)二次型1 2 3( , , ) Tf x x x x A x?在正交變換 x Q y? 下的標(biāo)準(zhǔn)形為2212yy ?，且 Q 的第 3 列為 22( , 0 , )22T．（ Ⅰ ） 求矩陣 A ；（Ⅱ） 證明 AE? 為正定矩陣，其中 E 為三階單位矩陣． 解： （ Ⅰ ）由題意， A 的特征值為1 2 31 , 0? ? ?? ? ?， 1TQ AQ Q AQ AQ Q?? ? ? ? ? ?，可知22( , 0 , )22T為 A 的對(duì)應(yīng)3 0? ?的特征向量， 設(shè) A 的對(duì)應(yīng)12 1?? ??的特征向量為? ?1 2 3 Tx x x? ?，且已知 ? 與 22( , 0 , )22T正交，從而13 0xx ??， 43 因?yàn)?3 0xx ??， 取12011 , 001??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，單位化為 122021 , 0022?????????????? ?????????????????， 令220221 0 022022Q??????? ???????????，則1 0 110 2 021 0 1TA Q Q?????? ? ????????. （ Ⅱ） 【證明】：AE?的特征值為1 2 32 , 1? ? ?? ? ?? ? ?， 又() TA E A E? ? ?，故AE?為正定矩陣． 44 例題 9. 設(shè) A 為 mn? 實(shí)矩陣， E 為 n 階單位矩陣，已知矩陣TB E A A??? ，試證：當(dāng) 0? ? 時(shí)，矩陣 B 為正定矩陣 ． 證明：因?yàn)? ) ( )T T T T T T T TB E A A E A A E A A B? ? ?? ? ? ? ? ? ?，所以 B 對(duì)稱， 又設(shè) x 為任意 n 維非零向量，則 ( ) ( ) ( ) ( )T T T T Tx B x x E A A x x x A x A x??? ? ? ?， 因?yàn)? ) ( ) 0TAx Ax ?， 0Txx ? ， 0? ? ，所以 0Tx B x ? ， 從而 B 為正定矩陣． 謝謝大家 祝大家：期末考試順利
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1