【正文】 應(yīng) 于1231 213 2 122 0 2 2 0 2 1 0 10 2 2 0 2 2 0 1 12 2 4 0 0 0 0 0 0rrrr r rIA?????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ???? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?( 1 , 1 , 1 ) T? ?1基 礎(chǔ) 解 系 為2 3:? ?對 應(yīng) 于1312113222120 0 2 0 0 0 1 1 00 0 2 0 0 2 0 0 12 2 2 1 1 1 0 0 0rrrrrrrrIA? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?( 1 , 1 , 0 ) T? ??2基 礎(chǔ) 解 系 為3 7:? ?對 應(yīng) 于11412 31413 3 22112211224 0 2 1 0 1 00 4 2 0 1 0 12 2 2 1 1 1 0 0 0rr rrr r rIA? ??? ? ? ???? ? ? ???? ? ??? ????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?1122( , , 1 ) T? ? ? ?3基 礎(chǔ) 解 系 為, , :? ? ?1 2 3將 單 位 化 分 別 得1311 313?????? ? ???????1212 20??????? ??????1613 626??????? ?? ???????1113621 1 13 2 612360C?? ????? ? ? ?????令:39。X C X?作 正 交 變 換 即1113621 1 13 2 6123639。39。39。0xxyyzz?? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? 2 2 239。 3 39。 7 39。g x 39。 , y 39。 , z 39。 x y z? ? ?原 二 次 型 變 為 :? ? 2 2 239。 3 39。 7 39。 1f ( x , y , z ) = g x 39。 , y 39。 , z 39。 x y z? ? ? ? 是 橢 球 面 .九 ,(矩陣的相關(guān)性質(zhì) ) 1 2 24 3 , , .3 1 1A t B A B O t????????? ???(1) 設(shè) 為 三 階 非 零 矩 陣 且 求 的 值:,A B O B??解 且 不 為 零0Ax ??齊 次 線 性 方 程 組 有 非 零 解1 2 24 3 7 2 1 03 1 1tt?? ? ? ??其 系 數(shù) 行 列 式3t ??( ) , , .A m n B n m I nm n B A I A????(3) 設(shè) 是 矩 陣 , 是 矩 陣 , 是 階 單 位 矩 陣若 求 證 的 列 向 量 組 線 性 無 關(guān): ( ) ( )B A I R B A R A? ? ?解 且,A n n ?矩 陣 的 秩 為 因 而 其 列 向 量 組 的 秩 為( ) ( ) ( ) ,n R I R B A R A? ? ?()A m n R A n? ? ?另 一 方 面 是 一 個 的 矩 陣.A 的 列 向 量 組 線 性 無 關(guān)1. ).()( ARAAR T ?證明證 ., 維列向量為矩陣為設(shè) nxnmA ?。0)(,0)(,0???xAAAxAAxxTT 即則有滿足若 .0,0)()(,0)(,0)(????AxAxAxxAAxxAAxTTTT從而推知即則滿足若 ,0)(0 同解與綜上可知方程組 ?? xAAAx T( ) ( )Tn R A n R A A? ? ? ?).()( ARAAR T ? 因此 (8分 )判斷向量向量的集合是否為線性空間 R4的子空間 ? 要說明理由 ? ?? ?W x x x x x x? ? ?1 1 2 3 4 1 2( 1 ) , , , | 0WR 41:.解 為 的 子 空 間? ? ? ?11W x x x x y y y y?? ?1 2 3 4 2 3 4, , , , , , , ,因 為 在 中 任 取 兩 個 向 量 =11x x y y? ? ? ?220 , 0則? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 3 4x x x x y y y y x y x y x y x + y?? ? ? ? ? ? ?2 3 4 2 3 4 2 3 4, , , , , , , , ,=? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 1 2x x y y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?12 0W???? 1? ?1W x x x x R k?1 2 3 4, , , ,因 為 在 中 任 取 兩 個 向 量 = 在 中 任 取 一 個 數(shù)1xx??2 0則? ?1k k x k x k x k x k x? ??2 3 4 1, , , , 0= 且kW? ? 1WR 41,綜 上 所 述 是 的 對 加 法 和 數(shù) 乘 都 封 閉 的 非 空 子 集 , 因 此 是 線 性 子 空 間 .? ?? ?W x x x x x x? ? ?2 1 2 3 4 1 2( 2 ) , , , | 0WR 42:.解 不 是 的 子 空 間? ? ? ?W1 ?? ?2 , 0 , 0 , 0 2 , 0 , 0 , 0因 為 在 中 有 向 量 = 但 沒 有 向 量 ( 2 ) =niinini? ? ? ? ?? ? ?? ? ?????1 2 11 2 112, , , , 0 , ( 1 , 2 , , )1 , , , , :, , ,七 設(shè) 向 量 組 中 且 每 個 都不 能 由 它 前 面 的 個 向 量 線 性 表 出 求 證 向量 組 線 性 無 關(guān) .:證 明nnk k k? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 0設(shè)nk ??0如 果nnkk nnnnkk? ? ? ???? ? ? ? ?12 11 2 1nn? ? ? ? ?1 2 1, , ,可 由 線 性 表 出 與 假 設(shè) 矛 盾 .nk因 此 =0n n n nk k k k k k? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2 1 100等 式 變 為nk ? ?1 0用 同 樣 的 方 法 可 證 nnk k k k??2 3 2 1, , , , .以 此 類 推 都 等 于 零n? ? ?12, , ,所 以 向 量 組 線 性 無 關(guān) .:)15(, 證明題分六21( 1 ) 2 0 , : 2 , ( 2 ) .A A A I A I A I ?? ? ? ? ?設(shè) 方 陣 滿 足 求 證 可 逆 并 求:證明22 2 0 6 4A A I A A I I? ? ? ? ? ? ? ?由 知( 3 ) ( 2 ) 4A I A I I? ? ? ? ?? ?14( ) ( 3 ) ( 2 )A I A I I? ? ? ? ?1 14( 2 ) ( 2 ) ( 3 )A I A I A I?? ? ? ? ?可 逆 且( 2 ) , 1 , : .T i j i jA A I A a A? ? ?已 知 實(shí) 矩 陣 , 滿 足 證 明:證明1 * *1TTAA A I A A A A?? ? ? ? ?ij ijaA?A B A B A BAB, , ,.( 3 ) , , ( 1 )?.(8) 已 知 為 同 階 方 陣 ,(1) 試 證 明 若 相 似 則 與有 相 同 的 特 征 值 。(2) 以 上 命 題 的 逆 命 題 是 否 成 立 ? 若 不成 立 請 舉 反 例 當(dāng) 均 為 實(shí) 對 稱 矩 陣 時 的 逆 命 題是 否 成 立 并 證 明( ) A ~ B , B P A P .?? 11證 設(shè) 則? ?I B I P A P P I A P? ? ???? ? ? ? ?11P I A P I A???? ? ? ?1( ) .2 以 上 命 題 不 可 逆A , B ,? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?0 1 0 00 0 0 0如I A I B ,? ? ?? ? ? ? ?2A B , A B .與 有 相 同 的 特 征 值 但 與 不 相 似AB ?如 果 與 相 似P P P .?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?10 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0可 逆 矩 陣 使 得 矛 盾( ) A , B , ( )31當(dāng) 均 為 實(shí) 對 稱 矩 陣 時 的 逆 命 題 成 立 . 其 證 明 如 下 :A , B ?均 為 實(shí) 對 稱 矩 陣 且 它 們 有 相 同 的 特 征 值nC , C : C AC C BC?????????? ? ? ?????12111 2 1 1 2 2正 交 矩 陣 使 得? ? ? ?A C C B C C C C B C C A B .?? ? ? ?? ? ?11 1 1 11 2 2 1 2 1 2 1 與 相