[理學(xué)]線性代數(shù)課件(1)-資料下載頁
2025-02-21 12:43本頁面
【正文】 , , i? ? ?與向量組 12, , , i? ? ?等價 ( 1 , 2 , , ) .ir?證明 取 11???? ?122 2 111( , ) ,??? ? ?????說 明 ?????12,??12,??12,??2 2 1k? ? ???設(shè)120 ( , )???由1 2 1 1( , ) ( , ) ,k? ? ? ???1211( , )( , )k????? ? ?1?12,??可由 線性表示 12,??可由 線性表示 12,?? 12,??與 等價 正交 分析 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 11???? ?122 2 111( , ) ,??? ? ?????? ?? ?? ?? ?1 3 2 33 3 1 21 1 2 2,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?3 3 1 1 2 2kk? ? ? ?? ? ?同 理 設(shè)? ?3 1 3 2( , ) 0 , 0? ? ? ???由 ,? ?? ?? ?? ?1 3 2 3121 1 2 2,kk? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?說 明 ?????1 2 3,? ? ?1 2 3,? ? ?1 2 3,? ? ?1 2 3,? ? ?可由 線性表示 1 2 3,? ? ?可由 線性表示 1 2 3,? ? ? 1 2 3,? ? ?與 等價 正交 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 11,???? ?122 2 111( , ) ,??? ? ?????? ?? ?? ?? ?1 3 2 33 3 1 21 1 2 2,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?1 , r??1 r? ??r? 1?? 2?? ??r? ?1( , )r?? 2( ,)r? ?11( , )?? 22( , )?? 11( , )rr????1( ,)rr? ??施密特正交化方法 . 1 , r??則 兩兩正交 , 1 , r?? 1 , r??與 等價 . 且 上述由線性無關(guān)向量組 1 , r??構(gòu)造出正交向量組 的方法稱為 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 解 11 。? ??22????110??????????01。0?????????1?11( , )??12( , )??100????????正交化 例 1 2 31 1 10 , 1 , 1 ,0 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?33???? 1 ?2 ??13( , )?? 23( , )??11( , )?? 22( , )??111?????????100?????????試將 R3的基 1 2 3,? ? ?化為 正交向量組 . 已知 R3的一個基 010?????????001?????????1 2 3,? ? ?就是 R3的一個 正交向量組 . 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 定義 設(shè) 12, , , m? ? ?L為歐氏空間 V 的一組基， 若 ( 1 , 2 , , )i im? ? L兩兩正交， 且每一個向量均為單位向量， 稱 12, , , m? ? ?L為 V 的 標準正交基． 設(shè) 12, , , m? ? ?L為歐氏空間 V的標準正交基， 對任意的 ??V, 若 ? 在這組基下的坐標為 12, , , ,mk k kL則有 1 1 2 2 ,mmk k k? ? ? ?? ? ? ?L用 T ( 1 , 2 , , )i im? ? L左乘等式的兩端得 T ( 1 , 2 , , ) ,ii k i m?? ?? L即在標準正交基下， 向量 ?的坐標分別是向量 ? 與基中 向量 i? 的內(nèi)積． 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 例 設(shè) T T T1 2 3( 3 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 3 , 1 , 1 , ) , ( 1 , 1 , 3 , 1 ) ,? ? ?? ? ? ? ? ?T4 ( 5 , 3 , 3 , 1 )? ? 所生成的向量空間為 V, 求 V的一組 標準正交基 ． 解 由于向量組 1 2 3,? ? ?線性無關(guān)， 而 4 1 2 3 ,? ? ? ?? ? ?故向量組 1 2 3,? ? ?是 V的一組基， 只要將這組向量 正交化， 再單位化就可得出 V 的一組標準正交基． 令 ? ?11 3 , 1 , 1 , 1 ,T??? ? ?? ?? ?212 2 111,??? ? ????? ? ? ? ?41 , 3 , , 1 3 , 1 , 1 , 112TT? ? ? ?? ?1 0 , 8 , 4 , 4 ,3 T??北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 ? ?? ?? ?? ?3 1 3 23 3 1 21 1 2 2,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?411 , 1 , 3 , 1 3 , 1 , 1 , 1 0 , 8 , 4 , 41 2 6T T T?? ? ? ? ? ?? ?0 , 0 , 2 , 2 .T?于是 1 2 3,? ? ?兩兩正交， 令 1111????2221????3331????則 1 2 3,? ? ?是向量空間 V的一組 標準正交基 ． ? ? T1 3 , 1 , 1 , 1 ,23??? ? T6 0 , 2 , 1 , 1 ,2??? ? T1 0 , 0 , 1 , 1 .
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