【正文】 . 掌握線性方程組求解 2. 加深對正交變換的理解 3. 掌握 Matlab軟件中的 ezplot、 zplot命令的區(qū)別和適用范圍 【 實驗要求 】 掌握繪制隱函數(shù)曲線 ezplot命令和彗星狀軌跡圖 et命令 第 2章 線性方程組 【 實驗內(nèi)容 】 天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點的直角坐標系，在兩坐標軸上取天文測量單位（一天文單位為地球到太陽的平均距離： 9300萬里）。在五個不同的時間點對小行星作了觀察，測得軌道上五個點的坐標數(shù)據(jù)如下 : 表 21 小行星觀測數(shù)據(jù) x y 第 2章 線性方程組 由開普勒第一定律知，小行星軌道為一橢圓。設(shè)方程為 試確定橢圓的方程并在軌道的平面內(nèi)以太陽為原點繪出橢圓曲線。并應(yīng)用坐標平移變換和正交變換將上例題中的二次曲線方程化為標準方程，繪橢圓軌道圖，完成小行星運行的動態(tài)模擬。 221 2 3 4 52 2 2 1 0a x a x y a y a x a y? ? ? ? ? ?第 2章 線性方程組 【 實驗方案 】 （ 1）二次曲線方程中有五個待定系數(shù)： ， ， ， ， 。將觀察所得的五個點坐標數(shù)據(jù) ， 代入二次曲線方程得到關(guān)于 ， ， ， ， 的線性方程組 求解該方程組得橢圓方程的系數(shù)： [ ， ， ， ， ] 。 1a 2a 3a 4a 5a( , )jjxy ( 1, 2 , , 5 )j ?1a 2a 3a 4a 5a221 1 2 1 1 3 1 4 1 5 1221 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2221 3 2 3 3 3 3 4 3 5 3221 4 2 4 4 3 4 4 4 5 4221 5 2 5 5 3 5 4 5 5 52 2 2 12 2 2 12 2 2 12 2 2 12 2 2 1a x a x y a y a x a ya x a x y a y a x a ya x a x y a y a x a ya x a x y a y a x a ya x a x y a y a x a y? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??1a 2a 3a 4a 5a第 2章 線性方程組 （ 2）將橢圓的一般方程寫成矩陣形式 通過變量變換（平移變換和旋轉(zhuǎn)變換）化為橢圓標準方程。首先化去一次項，然后將二次型化為標準型。為了用平移變換消去一次項，令 ， （ ， 待定），代入方程整理，得 ? ? ? ? 41234 52 1 0aaa xx y x yaa ay ???? ?? ? ? ????? ?????? ??0xx ??? 0yy ??? 0x 0y? ? ? ? ? ?0 41 2 1 23 4 3 4 502 2 0x aa a a a Fa a a a ay?? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ?????? ? ? ? ????第 2章 線性方程組 其中， 。 要化簡消去一次項，只須選擇 ， 使?jié)M足二階線性方程組 將 ， 代入橢圓的一般方程，得 令 求出特征值 極其對應(yīng)的特征向量 。可以取與 等價的正交單位向量 。構(gòu)造正交矩陣 ，利用正交變換 221 0 2 0 0 3 0 4 0 5 02 2 2 1F a x a x y a y a x a y? ? ? ? ? ?0x 0y0 41234 500x aaaaa ay?? ???? ???? ?????? ????0x 0y? ? 12340aa Faa ??? ??? ?? ???? ??????1234aaCaa??? ????12,?? 12,?? 12,??12,?? ? ?12,Q ???第 2章 線性方程組 得橢圓的標準方程： 。橢圓長半軸和短半軸分別為 ， 。 uQv??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?2212 0u v F??? ? ?1/aF??? 2/bF???第 2章 線性方程組 【 實驗過程 】 (1) MATLAB程序如下： x=[。]。 y=[。]。 A=[x.^2,2*x.*y,y.^2,2*x,2*y]。 b=[1。1。1。1。1]。 a=A\b。 syms x y a1 a2 a3 a4 a5 fun=a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1。 fun=subs(fun,a1,a(1))。 fun=subs(fun,a2,a(2))。 fun=subs(fun,a3,a(3))。 第 2章 線性方程組 fun=subs(fun,a4,a(4))。 fun=subs(fun,a5,a(5))。 ezplot(fun,[,7,]) 運行結(jié)果： a= 結(jié)果表明： 二次曲線方程中的各項系數(shù)為 =， =， =， =， =。 1a 2a 3a 4a 5a第 2章 線性方程組 圖 22小行星繞太陽運行的軌道 1 0 1 2 3 4 5 6 710123456xy 6085444263974395 / 18014398509481984 x2+ . . . + 1 = 0第 2章 線性方程組 (2) MATLAB程序如下： x=[。]。 y=[。]。 A=[x.^2,2*x.*y,y.^2,2*x,2*y]。 b=[1。1。1。1。1]。 ak=A\b。 C=[ak(1),ak(2)。ak(2),ak(3)]。 X=C\[ak(4)。ak(5)]。 x0=X(1)。y0=X(2)。X=[X。1]。 D=[ak(1),ak(2),ak(4)。ak(2),ak(3),ak(5)。ak(4),ak(5),1]。 F=X39。*D*X。 [U d]=eig(C)。 第 2章 線性方程組 a=sqrt(F/d(1,1))。b=sqrt(F/d(2,2))。 t=2*pi*(0:5000)/5000。 u=a*cos(t)。v=b*sin(t)。 V=U*[u。v]。 x1=V(1,:)+x0。y1=V(2,:)+y0。 plot(x1,y1,x,y,39。*39。,x0,y0,39。rO39。),hold on x2=[x1,x1,x1]。y2=[y1,y1,y1]。 et(x2,y2) disp([x0,y0]) disp([a,b]) 第 2章 線性方程組 圖 23 橢圓軌道圖 1 0 1 2 3 4 5 6 7210123456第 2章 線性方程組 運行結(jié)果： 。 結(jié)果表明： 橢圓標準方程為： 2222 14 .3 7 9 9 2 .4 2 9 9xy??【 矩陣的特征值與特征向量簡介 】 矩陣的特征值與特征向量是矩陣的數(shù)字特征，利用矩陣的特征值與特征向量可判斷矩陣的相似、解決矩陣對角化及實對稱矩陣正交化等問題，促進了矩陣理論的進一步發(fā)展及應(yīng)用。 第 3章 矩陣的特征值與特征向量 驗證性實驗 矩陣的特征值與特征向量 【 實驗?zāi)康?】 理解矩陣的特征值和特征向量的概念 會求矩陣的特征值和特征向量 掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法 【 實驗要求 】 掌握求矩陣的特征多項式 poly、求矩陣的特征值和特征向量 eig、矩陣的范數(shù) norm、值空間正交化 orth、單位陣 eye等命令 第 3章 矩陣的特征值與特征向量 【 實驗內(nèi)容 】 設(shè) ，求矩陣 A的特征多項式和特征值。 求矩陣 的特征值和特征向量。 求矩陣 的特征值和特征向量。 第 3章 矩陣的特征值與特征向量 ???????????310810001A???????????122212221A???????????000000321aaaA 4. 判斷矩陣 是否可以對角化，若能，將其對角化。 5．設(shè)矩陣 ，求正交矩陣 T，使得 為對角矩陣。 第 3章 矩陣的特征值與特征向量 ???????????011101110A???????????????????????7311371111731137A ATT 39?！?實驗過程 】 1． A=[1 0 0。0 1 8。0 1 3]。 poly(A) 運行結(jié)果： ans = 1 5 1 5 即矩陣 A的特征多項式為 ． lamda=eig(A) 運行結(jié)果： lamda = 5 1 1 即矩陣 A的特征值為 ， ， ． 55 23 ??? xxx51 ?? 12 ??? 13 ??第 3章 矩陣的特征值與特征向量 2． A=[1 2 2。2 1 2。2 2 1]。 [kesai,lamda]=eig(A) 運行結(jié)果： kesai = lamda = 0 0 0 0 0 0 即矩陣 A的特征值為 ， ， ． 對應(yīng)的特征向量為： ， ， ． 第 3章 矩陣的特征值與特征向量 11 ??? 12 ??? 53 ??????????????1?????????????2 4 4 7 9 7 5 5 2 2????????????5 7 7 5 7 7 5 7 7 3?3． A=sym(39。[0 0 a。0 b 0。c 0 0]39。)。 [kesai,lamda]=eig(A) 運行結(jié)果： kesai = [ 1/c*(c*a)^(1/2), 1/c*(c*a)^(1/2), 0] [ 0,