線性代數(shù)-二次型-課件-資料下載頁
2025-08-15 20:37本頁面
【正文】 則顯然成立若記矩陣 ],[ 1 ndi agT ?? ??.TT?? 寫成TA ??于是可將)()( TTTTT TQT T T QA ????.則定理得證若記 TTQP ?說明 正定稱矩陣的換個說法是：“實對定理 A3”合同于單位矩陣的充要條件是 .IA2例 為正定矩陣，若 A .0?iia則其對角線元證明 ，知存在可正定，所以，由定理因為 3A由兩端矩陣的對角線元，都是非零向量，比較列向量的每個可逆，所以由于使成立逆陣PPApppPPPPAPTnT??,,21 ?02 ??? iiTiii pppa??????????????????????????nTnTTnTnTTTppppppppppppPP*],[22112121???即得為正定矩陣，若 A.0?iia則其對角線元證有正定，所以對非零向量因為,]0,1,0[ TiexA????),2,1(0 niaAeeAxxf iiiTiT ??????.成立”負(fù)定的必要條件是同理，有“ .0?iiaA, 2211 aakA 個對角線元的前稱對角線元是定義 2 階的階子式為矩陣的 kAka kk,? 順序主子式.（或前主子式））（矩陣正定的必要條件（續(xù)）例 2從而，有,011 ?a ,022211211 ?aaaa,?。01111?nnnnaaaa????這個定理稱為 霍爾維茨定理 ． 定理 4 對稱矩陣 為正定的充分必要條件是： 的各階順序主子式為正，即 A A說明,011 ?a ,022211211 ?aaaa,?。01111?nnnnaaaa????而應(yīng)是負(fù)定的充要條件決不是矩陣 .A正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)： 。,A, .1 1T定矩陣均為正則為正定實對稱陣設(shè) ?? AAA., .2 矩陣也是正定則階正定矩陣均為若 BAnBA ?? ? ? ? .,2,1,011111nkaaaakkkkk ????????推論 對稱矩陣 為負(fù)定的充分必要條件是：奇 數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即 A例 3 判別二次型 ? ? 323121232221321 48455, xxxxxxxxxxxxf ??????是否正定 . 解 ? ?的矩陣為321 , xxxf,524212425???????????????A它的順序主子式 ,05? ,011225 ?? ,01524212425??????故上述二次型是正定的 . 例 4 判別二次型 ? ? 31232221321 4542, xxxxxxxxf ????是否正定 . 解 二次型的矩陣為 ,502040202?????????????A用 特征值判別法 . 0?? IA ?令 ,.6,4,1 321 均為正數(shù)???? ???故此二次型為正定二次型 . 即知 是正定矩陣， A解 的矩陣為f,0111 ??a ,0441 222211211 ???? tttaaaa正，由的各階順序主子式均為，應(yīng)有根據(jù)定理 A4,2010411??????????? ttA例 5 若二次型 3121232221 2224 xxxtxxxxf ?????正定，求參數(shù) t 應(yīng)滿足的條件 . 04220104112 ????? tttA解得 22 ??? t2. 正定二次型 （ 正定矩陣 ）的判別方法： (1)定義法； (2)順序主子式判別法； (3)特征值判別法 . 四、小結(jié) 1. 正定二次型的概念，正定二次型與正定 矩陣的區(qū)別與聯(lián)系． 3. 根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到 負(fù)定二次型 （ 負(fù)定矩陣 ）相應(yīng)的判別方法，請大 家自己推導(dǎo)． 思考題 .00, 是否為正定矩陣矩陣試判定分塊階正定矩陣階分別為設(shè)???????BACnmBA思考題解答 . 是正定的C解于是量不同時為零向則若維列向量維和別是分其中維向量為設(shè)因為,0,),(, yxznmyxnmyxz TTT????????????????yxBAyxCzz TTT 00),(,0 ??? ByyAxx TT., 為正定矩陣故是實對稱陣且 C
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