【正文】 rr則原方程組的同解方程組為： ?????????????????,00,3,0,4244324321xxxxxxxx用“回代”的方法求出解： ???????????33443231xxxxx此方程組有無窮多組解。令 cx ?3??????????????3344321xcxcxcx例 討論方程組 ???????????????????????104834822263531324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的解。 解 對方程組的增廣矩陣施行初等行變換 ??????????????????????104834822126351311321B ?? ?? ??? rr rr rr 4234312???????????????????60450604503045011321???????????????????60450604503045011321?? ?? ?? 23 34 rr rr原方程組的同解方程組為 ?????????????30 345132324321xxxxxx最后一個方程為矛盾方程，說明方程組無解，即原方程組是不相容的。 ?????????????????00000300003045011321方程組的解的情況可以歸結(jié)為： 有惟一解 ，有 無窮多解和 無解 三種情況 定理 線性方程組相容的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等。 定理 若線性方程組是相容的，則當系數(shù)矩陣的秩 nr?時，方程組有無窮多組解；當系數(shù)矩陣的秩 nr ?方程組有惟一解。 時， 推論 設(shè)齊次線性方程組 ???????????????????000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa????????????的系數(shù)矩陣為 A則當 nAR ?)( 時，方程組有惟一解，即零解； 當 nAR ?)( 時，方程組有無窮多解，即有非零解。 例 設(shè)線性方程組 ?????????????????????????44321343212432114321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx????? 為何值時，方程組有解，有解時，求出所有的解。 解 方程組可變形為 ???????????????????????????0)1(0)1(0)1(0)1(4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx????此方程組為齊次的，對該方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換 ???????????????????1111111111111111????A??????????????????????? ?????1111111111112222413121???????rrrrrr??????????????????? ????11111111111111112??????????????????????? ?????2022020000201111141312???rrrrrr故當 2??? ，且 2?? 時，方程組有惟一零解； 當 2?? 時， 41)( ??AR ，方程組有無窮多解，即 ??????????????? ??0000000000001111A對應(yīng)的方程組為： 04321 ???? xxxx ，取 432 , xxx為自由未知量，則方程組的解為： ??????????????3423123211cxcxcxcccx其中 321 , ccc可任意取值； 2???當 時， ???????????????????3111131111311113A??????????????????? ?? ???3111131111310000413121rrrrrr??????????????????? ?? ?000013111131311141 rr??????????????????? ?? ??00004400404031111312rrrr43)( ??AR ，方程組有無窮多解，對應(yīng)的方程組為： ???????????000434241xxxxxx取 4x 為自由未知量，則方程組的解為： ???????????cxcxcxcx4321其中 c 可任意取值。 例 已知一電路如圖所示，求電流 321 , III的值 解： 利用基爾霍夫定律 ??????????????????10291226003231321321IIIIIIIIII對此方程組的增廣矩陣施行初等行變換 ?????????????????102901220601110111???????????????????? ?????000023410102900111)61(342rrr?????????????????? ?? ??10290128600000011113126 rrrr???????????????????? ????0000234102814002310132319 rrrr???????????????????? ????0000234102814002310132319 rrrr???????????????????? ????000021002341023101322141rrr?????????????????? ????00002100320103400132313431rrrr????????????????000021003201034001原方程組有惟一解： 2,32,34 321 ??? III例 （運輸問題）設(shè)有兩個倉庫中分別存有某種 17及 11個單位量的商品，現(xiàn)將商品提供給三個商店去出售，其需要量 ijx分別是 12及 7個單位。若以 表示從第 i 號倉庫送到第 j 號商店的商品量 )3,2,1。2,1( ?? ji，則在考慮第 1號商店時， 應(yīng)有 92111 ?? xx等。試寫出其他四個必須滿足的等式， 說明總的方程組是相容的，并求出所有解 解 ?????????????????????11177129232221131211231322122111xxxxxxxxxxxx232221131211 xxxxxx? ??????????????????11111000170001117100100120220109001001bA ?281117 ??287129 ???因為倉庫中有商品量共 個單位，提供給三個商店 所列方程組是相容的，由增廣矩陣 總量是 個單位，供需是平衡的， ???????????????????????? ?????11111000111110007100100120220109001001)( 3214 rrrr???????????????? ????? ??????0000000111110007100100120220102110001)1(44541rrrrr????????????????????11712223222123132212232211xxxxxxxxxx取 2322,xx 為自由未知量， 則方程組的解為 ??????????????????????????22312221212131122111117122cxcxccxcxcxccx21,cc 為任意常數(shù) 【 注 】 對于含參數(shù)的矩陣作初等變換時，若需要對某些因式作變換，應(yīng)注意因式可以等于零，必須對因式等于零的情況另作討論 . 求解一般線性方程組可分如以幾步進行： ? （ 1）寫出方程組的增廣矩陣。 ? （ 2）對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，將其化為行階梯形，因為行階梯形矩陣的非零行數(shù)即為矩陣的秩，所以由行階梯形可判斷系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等，也就是判斷出方程組是否有解，如果沒有解，停止；否則進行下一步。 ? （ 3）繼續(xù)對增廣矩陣施行初等行變換，將它化為行最簡形，寫出該行最簡形矩陣所對應(yīng)的方程組。 ? （ 4）把第（ 3）步所得每個方程改寫為用自由變量表示基本變量的形式，即得方程組的一般解。