【正文】 npppnpnpptpnpnpppptnnnn????? ??????????? ??? ??,212 nppp n ??????? ??１而.)1( 1212 21 DaaaD ppp nnt ?? ?? ?所以　　 評(píng)注 本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩 點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一 項(xiàng)所帶的符號(hào)相同．這也是用定義證明兩個(gè)行列 式相等的常用方法． ２ 利用范德蒙行列式計(jì)算 例 計(jì)算 利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德 蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列 式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。 .333222111222nnnDnnnn?????????，于是得到增至冪次數(shù)便從則方若提取各行的公因子，遞升至而是由變到序排列，但不是從次數(shù)自左至右按遞升次方冪數(shù)的不同方冪中各行元素分別是一個(gè)10.1,10,??nnnD n解 .1333122211111!121212nnnnDnnnn????????????? 上面等式右端行列式為 n階范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知 !.1!2)!2()!1(!)]1([)2()24)(23()1()13)(12(!)(!1?????????????????? ?????nnnnnnnnxxnDjinjin 評(píng)注 本題所給行列式各行（列）都是某元 素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如 提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行 列式化成范德蒙行列式． ３ 用化三角形行列式計(jì)算 例 計(jì)算 .43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxD nnnn????????????解 列都加到第一列，得將第 1,3,2 ?n?xaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin????????32121212111??????????????提取第一列的公因子，得 .1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxD nnnniin??????????????后一列，得倍加到最列的將第列，倍加到第列的列，將第倍加到第列的將第２ )(1,3)(12)(1 1aaan????.)()(11? ??????ni ini iaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin???????????????????23122121111010010001)( 評(píng)注 本題利用行列式的性質(zhì)，采用 “ 化零 ” 的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式． 化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多 的行（列）；若沒有１，則可適當(dāng)選取便于化零 的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù) 化為 1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則 應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到 化為三角形行列式之目的． ，得提取公因子行中行，并從第行都加到第、的第將dcbaD???114324４ 用降階法計(jì)算 例 計(jì)算 .4abcdbadccdabdcbaD ?解 ,1111)(4abcdbadccdabdcbaD ????列，得列都減去第、再將第 1432 ,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD?????????????行展開，得按第 1 .)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD?????????????，得中提取公因子行行，再?gòu)牡谛屑拥降诎焉厦嬗叶诵辛惺降赿cba ???112,011))((dadbdccbcacddcbadcbaD??????????????４列，得列減去第再將第 12行展開，得按第 1])()([))(( 22 cbdadcbadcba ???????????))(())((dcbadcbadcbadcba??????????????,001))((4dacbdccbdacddcbadcbaD??????????????dacbcbdadcbadcbaD ??????????? ))((４ 評(píng)注 本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列 式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后 按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù) 可降低 1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接 計(jì)算出來(lái)為止（一般展開成二階行列式）．這種 方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用． 5 用遞推法計(jì)算 例 計(jì)算 .21xaaaaxaaaaxaDnn???????????解 拆成兩個(gè)行列式之和列把依第 Dn naaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn????????121?????.000121xaaaxaaaaxaaaaxann??????????????.1121 DxaxxxD nnnn ?? ?? ?從而得列展開第右端的第二個(gè)行列式按列加到第倍分別列的將第右端的第一個(gè)行列式,1,2,1)1(, nnn??? ,0000000001121DxaaxaxaxD nnnn ?????????????由此遞推，得 .,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn????????????????１于是如此繼續(xù)下去，可得 DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121????????????? １)( 21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn??????????????? １).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn?????????? ?時(shí)，還可改寫成當(dāng) 021 ?xxx n?)].111(1[2121 xxxaxxxDnnn ????? ??評(píng)注 .1 1 .1,1 1的遞推關(guān)系列式更低階行列式之間階行，建立比階更低階的行列式表示比用同樣形式的階行列式時(shí)，還可以把給定的有之間的遞推關(guān)系階行列式與建立了階行列式表示出來(lái)用同樣形式的行列式階質(zhì)把所給的本題是利用行列式的性　　?????nnDnDnDnDnnnnn6 用數(shù)學(xué)歸納法 例 證明 .coscos21000100000cos210001cos210001cos?????nD n??????????????證 對(duì)階數(shù) n用數(shù)學(xué)歸納法 .,2,1,2c o s1c o s22c o s11c o s,c o s 221結(jié)論成立時(shí)當(dāng)所以因?yàn)???????nnDD?????得展開按最后一行現(xiàn)將的行列式也成立于階數(shù)等于下證對(duì)的行列式結(jié)論成立假設(shè)對(duì)階數(shù)小于,.,Dnnn.c o s2 21 DDD nnn ?? ?? ?,)2c o s ( ,)1c o s ( ,21????????nDnDnn由歸納假設(shè)。cos)2cos (])2cos ([co s)2cos ()1cos (cos2???????nnnnnnD n??????????.結(jié)論成立所以對(duì)一切自然數(shù) n評(píng)注 .,)1(1,)(, 21同型的行列式是與不否則所得的低階行列式展開列或第行按第不能展開列或第行本例必須按第表示展開成能用其同型的為了將DnnDDDnnnn??.,.,其猜想結(jié)果成立然后用數(shù)學(xué)歸納法證明也可先猜想其結(jié)果如果未告訴結(jié)果納法來(lái)證明可考慮用數(shù)學(xué)歸結(jié)論時(shí)證明是與自然數(shù)有關(guān)的而要我們當(dāng)行列式已告訴其結(jié)果一般來(lái)講 計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可 以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方 法綜合應(yīng)用．在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式 在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變 換后，再考察它是否能用常用的幾種方法． 小結(jié) ).(40,153020220:.)(000000332210準(zhǔn)確到小數(shù)兩位時(shí)水銀密度求由實(shí)驗(yàn)測(cè)得以下數(shù)據(jù)的關(guān)系為與溫度設(shè)水銀密度?????thttatataathth例 )1(. 00 090 030, 0040 020, 0010 010,),(3210321032100????????????????????aaaaaaaaaaaaath 得方程組將測(cè)得的數(shù)據(jù)分別代入解 )2(.,3213213210??????????????????aaaaaaaaaa 得方程組分別代入其余三個(gè)方程將,1 2 0 0 0?D此方程組的系數(shù)行列式.00 00 03 ,00 01 ,00 )2(,321?????aaa的唯一解得方程組由克萊姆法則,50 321 ????? DDD又得將以上四個(gè)數(shù)代入又 ),(, tha ?由此得.0 0 0 0 0 3 )(32tttth????.,40,15, 00 水銀密度分別為時(shí)當(dāng)所以 ?t.)40(,)15( ??