【正文】 s?s≠0. 3. 向量組 Ⅰ: ?1,?2, … ,?s (s?3)線性相關(guān)的充要條件是 [ ]. (A) Ⅰ 中每個向量都可以用其余的向量線性表出； (B)Ⅰ 中至少有一個向量可用其余的向量線性表出； (C)Ⅰ 中只有一個向量能用其余的向量線性表出； (D)Ⅰ 的任何部分組都線性相關(guān) . C B (A) 必有一個零向量； 4. 已知向量組 U線性相關(guān)，則在這個向量組中 [ ]. (B) 必有兩個向量成比例； (C) 必有一個向量是其余向量的線性組合； (D) 任一個向量是其余向量的線性組合 . 6. 設(shè) A, B, C均為 n階矩陣 , 若 AB=C, 且 B可逆 , 則 [ ]. (A) 矩陣 C的行向量組與矩陣 A的行向量組等價； (B) 矩陣 C的列向量組與矩陣 A的列向量組等價； (C) 矩陣 C的行向量組與矩陣 B的行向量組等價； (D) 矩陣 C的列向量組與矩陣 B的列向量組等價 . ?1,?2, … ,?m的秩為 r(r?m), 則該向量組中 [ ]. (A)必有 r個向量線性無關(guān)； (B)任意 r個向量線性無關(guān)； (C)任意 r個向量都是該向量組的極大無關(guān)組； (D)任一向量都可由其余向量線性表出 . B A C (A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) . 7. 設(shè) , 其中 為 任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是 [ ]. 1 2 3 41 2 3 40 0 1 10 , 1 , 1 , 1c c c c? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 4, , ,c c c c1 2 3,? ? ? 1 2 4,? ? ?1 3 4,? ? ? 234,? ? ? 解 因?yàn)? 0110110,431431 ????ccc???所以 , 向量組 ?1, ?3, ?4線性相關(guān) . 1. 設(shè) , 則 k = ______時 , ?1, ?2, ?3, ?4線性相關(guān) )1,2,0,1(),1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2( 4321 ????????? ???? k所以， k=5/13時 , ?1, ?2, ?3, ?4線性相關(guān) . 19/2 二 . 填空題 5/13 解 由于 120110103245012?????k k135??kkk210011011350005012??????2. 當(dāng) k = _____時 , 向量 ? =(1, k, 5)能由向量 線性表示 . ),2,3,2(1 ???)1,1,2(2 ??? 解 由于 9?18?2=(2, 19, 10)，所以 , 2k=19線性相關(guān) . 4. 設(shè)向量組 線性無關(guān) , 則a, b, c必滿足關(guān)系式 . 1 2 3( , 0 , ) , ( , , 0) , ( 0 , , )a c b c a b? ? ?? ? ?所以， R(?1, ?2, ?3, ?4)=4 abc≠0 4 解 由于 ?????????????????140113130210512012211 解 由于 ，所以， abc≠0. 3. 設(shè) , 則秩 (?1, ?2, ?3, ?4 )= ______. )1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1( 4321 ??????? ??????????????????????222009000010512012211~02000?? abcbacbca 解 (1) 3?1+5?2－ ?3=(1, 4, － 25, 7) 2. 設(shè)向量組 ?1, ?2, ?3線性相關(guān) , ?2, ?3, ?4線性無關(guān) , 問 (1) ?1能否由 ?2, ?3線性表出 ? 證明你的結(jié)論 。 (2) ?4能否由 ?1, ?2, ?3線性表出 ? 證明你的結(jié)論 . 三 . 解答題 1. 設(shè) ?1T=(4,1,－ 3,－ 2), ?2T=(1,2,－ 3,2), ?3T=(16,9,1,－ 3) (1) 求線性組合 3?1+5?2－ ?3. (2) 求內(nèi)積 [?1, ?2]和向量 ?1的長度 |?1|. (2) [?1, ?2]=11, |?1|= 30 解 (1) 由 ?2, ?3, ?4線性無關(guān)知 ?2, ?3線性無關(guān) , 再由 ?1, ?2, ?3線性相關(guān)知 ?1可由 ?2, ?3線性表示 . (2) 由 ?2, ?3, ?4線性無關(guān)知 ?4不能由 ?2, ?3線性表示 , 再由 (1)知 ?4不能由 ?1, ?2, ?3線性表示 . 3. 判斷下列向量組 的線性相關(guān)性： 解 令 k1(1, 1, 0)+k2(0, 1, 1)+k3(3, 0, 0)=0 即 (2) (2, 0, 0), (0, － 1, 2), (0, 2, 1)。 解 因?yàn)橄蛄拷M是正交向量組 , 故線性無關(guān) . (1) (1, 1, 0), (0, 1, 1), (3, 0, 0)。 131223000kkkkk???????? ??所以 , k1=k2=k3=0, 故 (1, 1, 0), (0, 1, 1), (3, 0, 0)線性無關(guān) . 解 因?yàn)? (4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,－ 3,4,11,12)。 (3) (4, 5, 2, 6), (2, 2, 1, 3), (6, 3, 3, 9), (4, 1, 5, 6)。 4 5 2 62 2 1 36 3 3 94 1 5 6????????????????所以 , 向量組的秩等于 3，故向量組線性相關(guān) . 2 2 1 30 1 0 00 3 0 00 3 3 0???????????????2 2 1 30 1 0 00 0 3 00 0 0 0???????????????解 因?yàn)? 1 0 0 2 50 1 0 3 40 0 1 4 72 3 4 1 1 1 2?????????1 0 0 2 50 1 0 3 40 0 1 4 70 0 0 0 1 4??????????所以 , 向量組的秩等于 4，故向量組線性無關(guān) . 4. 求下列向量組的一個極大線性無關(guān)組 , 并把其余向量用極大線性無關(guān)組線性表示 . 解 由于 而且有 )3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1()1( 4321 ??????????? ????所以， ?1, ?2, ?3 是一個極大線性無關(guān)組 . ??????????????????????3763245113122141),(4321TTTT???????????????????????0000320031902141~????????????????00002/31002/10102/3001~ ?4=3/2?1+1/2?23/2?3, 解 由于 所以， ?1, ?2, ?4 是一個極大線性無關(guān)組 , 而且有 ?????????????????1001424527121203121301),(54321TTTTT????? ?3=3?1+?2， ?5=2?1+?2 ),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1()2( 4321 ?????? ????).10,5,1,2(5 ??????????????????04000101103133021301~??????????????00000010001011021301~??????????????00000010001011020301~ 解 只當(dāng) ?1, ?2, ?3 線性無關(guān)時 , ?可由它們唯一表示 . 又由于 2111111, 321 kk????所以 , 當(dāng) k≠0 且 k≠1 時 , ?可由 ?1, ?2, ?3唯一線性表示 . 5. 設(shè)有三維向量 , , , , 問 k取何值時， ?可由 ?1, ?2, ?3線性表示 , 且表達(dá)式唯一 . ???????????111k????????????112 k????????????2113????????????21kk?001111kkkkk????? )1(2 ?? kk 證明 (1) 如果有某個 ki=0，則有 m個向量 ?1, ?2, … ?m線性相關(guān) , 但其中任意 m－ 1個都線性無關(guān) , 證明 : (1) 如果存在等式 k1?1+k2?2+… +km?m=0, 則這些系數(shù)k1, k2, … , km或者全為零 , 或者全不為零 。 (2) 如果存在兩個等式 k1?1+k2?2+… +km?m=0, l1?1 + l2?2 +… +lm?m=0, 其中 l1 ? 0, 則 .2211mmlklklk ??? ? k1?1+k2?2+… +ki1?i1+ki+1?i+1+… +km?m=0 由于這 m－ 1個向量線性無關(guān) , 故這些系數(shù)全為零 . 所以 , 系數(shù) k1, k2, … , km或者全為零 , 或者全不為零 . (2) 由于 l1≠0, 由 (1)知 l1, l2,… , lm都不為零 . (2) 如果存在兩個等式 k1?1+k2?2+… +km?m=0, l1?1 + l2?2 +… +lm?m=0, 其中 l1 ? 0, 則 .2211mm