【正文】 , 且滿足 BA=B+2E, 求 |B|. ?????????? 2112A 11. 設(shè) A, B為 3階方陣 , 且 |A|=3, |B|=2, |A－ 1+B| =2, 求 |A+B－ 1|. 解 由于 A(A－ 1+B)＝ (A+B－ 1)B 所以 , |A||A－ 1+B|＝ |A+B－ 1||B| 于是 , |A+B－ 1|＝ 3. 證明 (E－ A)(E+A+A2+… +Ak－ 1) =E－ Ak=E 12. 設(shè) A為 n階方陣 , 若 Ak=0, 其中 k為正整數(shù) , 證明 (E－ A)－ 1=E+A+A2+… +Ak－ 1 =(E+A+A2+… +Ak－ 1)－ (A+A2+… +Ak－ 1 +Ak) 所以 (E－ A)－ 1=E+A+A2+… +Ak－ 1 13. 若 A, B為 n階方陣 , 且 E+AB可逆 , 試證 證明 (E+BA)[E－ B(E+AB)－ 1A] (E+BA)－ 1=E－ B(E+AB)－ 1A 所以 =E－ B(E+AB)－ 1A+BA－ BAB(E+AB)－ 1A =E－ B[(E+AB)－ 1－ E+AB(E+AB)－ 1]A =E－ B[(E+AB)(E+AB)－ 1－ E]A =E－ B[E－ E]A =E (E+BA)－ 1=E－ B(E+AB)－ 1A 14. 若 A, B為 n階方陣 , 且 2A－ 1B＝ B－ 4E, E是 n階單位矩陣 , 試證 : A－ 2E是可逆矩陣 . 證明 由已知有： 2B=AB－ 4A, (A－ 2E)B=4A 所以 , |A－ 2E||B|=|4A|=4n|A|≠0 因此 , A－ 2E是可逆矩陣 . 15. 設(shè) A, B, C均是 n階方陣 , 如果 C=A+CA, B=E+AB,求證 : BC=E. 證明 由 C=A+CA可得 C=A(EA)1， 由 B=E+AB 可得 B=(EA)1, 所以 BC=(EA)1A(EA)1=(EA)(EA)1=E 16. 設(shè)方陣 A滿足 A2＋ A－ 3E=O, 證明 A－ E 和 A+2E都可逆 , 并求 (A－ E)－ 1. 證明 由 A2+A3E=O可得 : (A－ E)(A+2E)=E 所以 , A－ E 和 A+2E都可逆 , 而且 , (A－ E)－ 1=A+2E 17. 對下列每一對矩陣 A, B, 求一個可逆矩陣 P, 使得 , PA=B. 解 由于交換 A的 2, 3行得 B, 所以 , P=E[2, 3]. ???????????543432321)1( A 。4)( DCBA ?? 4. 設(shè) G是 5階的可逆方陣 , 且 |G|≠1, G*是 G的伴隨矩陣 ,則有 [ ]. .||||)(。 (C) P2P1 。1,0,0,0)( 4321 ???? xxxxC .1,1,0,0)( 4321 ???? xxxxD. 000100000100100 1． 4階行列式 等于 [ ]. 1 2. 行列式 中元素 a11的代數(shù)余子式等于 [ ]. 6 3. 中 , x3的系數(shù)是 [ ]. . 4. 設(shè) a, b為實數(shù) , 則當(dāng) a=[ ], b=[ ]時 , 0 0 xxxxxxf21112)( ???? 2 010100???? abba 5． 的第四行各元素余子式之和的等于 [ ]. 2235007022220403??125305403?? M41+M42+M43+M44 . 所以，第四行各元素余子式之和等于 [ 28 ]. 2235007022220403?? =A41+A42A43+A44 1111007022220403????1112220437???20011104314? 28??三、解答題 1．設(shè) ，試求 A41+4A42+2A43的值 . 5314102302411312－－?D 解 A41+4A42+2A43 00241102302411312??－－ 2. 設(shè) , 已知代數(shù)余子式 A31=2, 求 A12. 5312421xxD ? 解 由于 A31=24x=2, 所以 , x=1. 于是 A12=9. 000)1()1(12,11,12,332311,211???????nnnnnnnnaaaaaaaa???????計算下列行列式 (1) D= 解 D= 00000012,11,11,2222111,11211?????????nnnnnnaaaaaaaaaa????000)1(12,11,11,2222111???????nnnnnnaaaaaaa?????12,11,2131 )1()1()1( nnnnnn aaaa ??? ???? ??12,11,212)1)(4()1( nnnnnnaaaa ?????? ? 12,11,212 )1()1( nnnnnn aaaa ???? ? 解 100020001)1(1n????nnD???????0000100002000010)2(nn ?????????!1)( 1 nn ??? 解 按第一列展開 , 有 1110 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0= ( 1 ) 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0nnnaaaa aaaa?????原 式naaaaa00010000000000001000)3(???????????1110 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0= ( 1 ) 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0nnnaaaa aaaa?????原 式120000= ( 1 ) ( 1 )00n n nnaaaa??? ? ?2= nnaa ??22= ( 1 )naa? ?22( 4)nnabababDcdcdcd? 解 按第一列展開 , 有 2 1 2 100=00nna b bababac c d a bcdcdd c d???2nD2 1 2 100=00nna b bababac c d a bcdcdd c d???2nD2 2 2 2=nna b a ba b a ba d b cc d c dc d c d???22= ( ) nad bc D ?? 2 24= ( ) na d b c D ?? 1 2= = ( ) na d b c D?? = ( ) na d b c? 解 n=1時 原式 =|1|=1 n=2時 13=732 ??原 式 n?3時 , 讓各列都減去第三列 , 則有 nn333331333333333332333331)5(????????????2 0 3 0 00 1 3 0 00 0 3 0 0=0 0 3 1 00 0 3 0 3n???原 式2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 3 0 0=0 0 0 1 00 0 0 0 3n??? =6(n?3)! 解 11111)6(321321121121121nnnnaaaaxaaaaxaaaaxaaaaxD???????????????1000010001001011313221322111???????????nnnnnnncacaxaaaxaaaaaxaaaaaaaxDnii????????????????)(1????niiax 解 12125431432321)7(??nnnD?????????1212)1(2542)1(1432)1(322)1(??????nnnnnnnnnnD?????????1211254114313212)1(???nnnnD?????????1110111011103212)1(?????????nnnnn????111111111111111112)1(???????nnnnnnn?????????111111111111111112)1(??????????nnnnnn?????????100010010010012)1(??????????nnnnnn?????????212)2)(1()1()1(2 )1( ???????? nnnnnnnD 2 )1()1(12)1( ????? nnDnnnnnnnnxaaaaxaaaaxaaaaxD?????????321321321321)8( ? 解 nnnnaxxaaxxaaxxaaaaxD????????????????0000001133112211321nnnnaxxaaxxaaxxaaaaxD????????????????000000