【正文】 : 然后對 B施行 初等行變換 ，目標(biāo)是把 B 的左一半矩陣 A化為單位矩陣．當(dāng) A化為單位矩陣時， B的右一半矩陣 I則同時化為了 A?1. B A I??? ??? ?11kkP P P A I? ? ?1A A I??11A A A I????? ?? 1IA ???? ??65 例２ 判斷下述矩陣是否可逆 . 1 2 43 2 53 2 22A??????????????? 答案： 1 2 4 1 2 43 2 5 0 4 173 2 22 0 0 0??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?A 故 A 不可逆 . 66 例 3 設(shè) 0 1 21 1 42 1 0A????????? ??? 求 A? 1. 答案 ： ..12 1 14 2 11 5 1 0 5????????????????A 67 例 4 求解矩陣方程 A X B X?? 其中 1 1 21 2 42 1 1A????????? ???，210320B????????????． 答案： ().16510 104 4 5??????? ? ? ????? ???X A I B. 68 例 5 已知 n 階矩陣 A 可逆，常數(shù) k ? 0 ，則 () kA k A1 1 1? ? ?? 69 設(shè) ()1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 21 1 2 210nnnnm m m m n nx a y a y a yx a y a y a yx a y a y a y? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? ()1 1 1 1 1 2 2 12 2 1 1 2 2 2 21 1 2 211ssssn n n n s sy b z b z b zy b z b z b zy b z b z b z? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? 應(yīng)用實例 70 令 ()ik m nAa?? ， ()kj n sBb?? ， 則有 ,1 1 1 12 2 2 2m n n sx y y zx y y zABx y y z? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 從而 1122msxzxzABxz? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 71 例 1 某股份公司生產(chǎn)四種產(chǎn)品 ,各產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)成本以及在各個季度的產(chǎn)量分別由表一和表二給出 . 在年度股東大會上 ,公司準(zhǔn)備用一個單一的表向股東們介紹所有產(chǎn)品在各個季度的各項生產(chǎn)成本 ,各個季度的總成本 ,以及全年各項的總成本 . 解 . 將表一和表二分別寫成如下的矩陣： . . . .. . . .. . . .0 5 0 8 0 7 0 650 8 1 05 0 9 0 850 3 0 6 0 7 0 5M??????????? 9 0 0 0 1 0 5 0 0 1 1 0 0 0 8 5 0 06 5 0 0 6 0 0 0 5 5 0 0 7 0 0 01 0 5 0 0 9 5 0 0 9 5 0 0 1 0 0 0 08 5 0 0 9 5 0 0 9 0 0 0 8 5 0 0N????????????? 72 例 2 某城鎮(zhèn)有 100000人具有法定的工作年齡 . 目前有 80000人找到了工作，其余 20220人失業(yè)，每年，有工作的人中的 10%將失去工作而失業(yè)人口中的60%將找到工作 . 假定該鎮(zhèn)的工作適齡人口保持不變，問三年后該鎮(zhèn)工作適齡人口中有多少人失業(yè)？ 解 . 令 x n , y n 分別表示該鎮(zhèn) n 年后就業(yè)和失業(yè)人口數(shù)，從而得到如下的方程組 ..10 9 0 6n n nx x y??? ..10 1 0 4n n ny x y??? 73 如令 ..,..0 9 0 60 1 0 4nnnxXAy?? ?????? ?????? 則 1nnX A X?? 74 例 3 ． 如矩陣 TAA ? ，則稱 A 為 對稱矩陣 . 設(shè) A 、B 都是 n 階對稱矩陣，證明 AB 是對稱矩陣的充分必要條件是 AB = BA . 例 4 ． 設(shè) 12naaAa????????????? 其中 ai? aj，當(dāng) i ? j ( i , j = 1, 2, …, n ). 試證：與 A可交換 的矩陣一定是對角矩陣 . 75 證明 ． 設(shè) 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n nb b bb b bBb b b????????????? 則 AB 的第 i ( i = 1, ? , n ) 行為 ( aibi 1, aibi 2, ? , aibin), BA 的第 i ( i = 1, ? , n ) 行為 ( a1bi 1, a2bi 2, ? , anbin), 由于 AB = BA , 則 aibi j= ajbi j, 再由 ai? aj( i ? j ) 可得 , bi j= 0 ( i,j = 1, ? , n ). 76 例 5 ．設(shè) A 、 B 、 C 為 n 階方陣 , 且 C 非奇異 , 滿足 C ? 1 A C= B ，求證 B m = C ? 1 A m C （ m 為正整數(shù)） . 例 6 ．設(shè) A , B 分別是 mn ? 級和 nr ? 級矩陣 . 構(gòu)造分塊矩陣 IAXOI??????? 和A B OMBO??????? 求 X 的逆矩陣并計算 X? 1MX . 答案： 1IAXOI????? ???? 和 1OOX M XB B A???? ???? 證明 ． 數(shù)學(xué) 歸納法 . 77 小結(jié) 一、 基本概念： 1 、 特殊矩陣 . 2 、 初等矩陣 . 3 、 分塊矩陣 . 4 、 矩陣 可 逆 . 5 、 矩陣 等價 的 概念 . 78 三、 基本理論： 1 、 初等 矩陣 的 性質(zhì) 2 、 判斷矩陣可逆的充分必要條件 3 、 用行初等變換判斷 矩陣 是否可逆 4 、 用行初等變換求可逆 矩陣 的逆矩陣 5 、求解矩陣方程 二、 基本 運算 ： 1 、 矩陣加、減法，矩陣的數(shù)乘 . 2 、 矩陣的乘法 ，分塊矩陣的乘法 . 79 練習(xí) ： 2, 5, 8, 13, 14(1)(4), 15, 17, 18(4), 19(2), 22, 23. 作業(yè) ： 1(1)(3), 3(1)(2)(4), 4, 11, 12, 18(1)(3), 20.