[理學(xué)]線性代數(shù)第一講-資料下載頁(yè)
2025-01-19 15:16本頁(yè)面
【正文】 3232221212 ???? ??0 ?1 ?1 ?2 ?2 ? ?k根據(jù)方法 1 例 4 計(jì)算排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性 . 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 54 第一式是顯然的，下面只證第二式 . 112121n,nnnaaa???????＝ ( 1)t a1na2,n1 an1 = ( 1)t ?1 ?2 ?n , t = 0 + 1 + 2 + + (n 1) = n (n 1)/2 . 其中 t 為排列 n(n 1) 2 1 的逆序數(shù)，故 證畢 證明 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 55 例 6 證明下三角行列式 .221121222111nnnnnnaaaaaaaaa??????由于當(dāng) j i 時(shí) ,aij = 0,故 D 中可能不為 iipa0的元素 ,其下標(biāo)應(yīng)有 pi ≤ i , p1 ≤ 1,p2 ≤ 2, ,pn ≤ n . 證明 即 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 56 在所有排列 p1p2 pn 中，能滿足上述關(guān)系的排列 證畢 D ＝ a11a22 ann . 所以 (1)t =(1)0 = 1 ， 的項(xiàng)只有一項(xiàng) (1)t a11a22 ann. 此項(xiàng)的符號(hào) 只有一個(gè)自然排列 12 n， 所以 D 中可能不為 ０ 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 57 例 5和例 6的結(jié)論很重要，它們可以當(dāng) 時(shí)候總是想方設(shè)法把它化為三角形行列式． 作公式用，以后我們?cè)谟?jì)算高階行列式時(shí)，很多 注意 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 58 由行列式的定義，知 第一行有 2 個(gè)元素含有 x ， 即為 ,a 31411 ??,時(shí)225 44332211 ?????? ax,ax,ax,a當(dāng)此時(shí)它們 的乘積等于 .x320,)1( 4321 43214 ppppt aaaaD ? ??乘積的次數(shù)才最高，且為４． 顯然，只有當(dāng) 都含有 x 時(shí)，其 4321 4321 , pppp aaaa解 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 59 故所求的最高冪的系數(shù)為 ,4253 43312214 時(shí)當(dāng) xax,ax,ax,a ?????其乘積等于 ,120?列標(biāo)排列為 ,120 4x?逆序數(shù)為 .4,4213D4 是 4 次多項(xiàng)式 . 解畢 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 60 例 8 設(shè) nnnnnnaaaaaaaaaD??????????2122221112111?nnnnnnnnnnabababaabababaaD??????????221122222111112112??????證明 .21 DD ?證 由行列式定義有 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 61 ? ?? ?nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD ?????????????2121212121222211121111? ???nnnnnnnnnnabababaabababaaD??????????221122222111112112??????? ? ? ? ? ?? ????????nnnnppppnppnppppppt baaa??? ?21212121 ()2()1211(i,j)元素 =？ 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 62 由于 ,2121 nppp n ??????? ?? 所以 ? ? ? ? .1 2211212121 DaaaDnnnnpppppppppt ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?nnnn pppnnpppppppppt baaaD ???????? ?? ???? ? 21212121 21212 1? ? ? ?nnnnpppppppppt aaa ???212121211? ??故 ? ? ? ? ? ? ? ?nnnn pppnnpppppppppt baaa ???????? ?? ???? ? 21212121 21211證畢 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 63 補(bǔ)例 解線性方程組 ?????????????????.0,132,22321321321xxxxxxxxx解 由于方程組的系數(shù)行列式 111312121?????D? ?111 ???? ? ? ? ? ? ?132 ??????121 ??? ? ?111 ???? ? ? ? ?122 ????? ? ? 131 ????5?? ,0?上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 64 同理可得 1103111221?????D,5??1013121212?????D,10??0111122213????D,5??故方程組的解為 : ,111 ?? DDx ,222 ?? DDx .133 ?? D
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