【正文】 1321 ppppppA ????.),( 1332211 ?? PpppA ???Solution 3. ,),(3 321 ?? xxxx對應(yīng)的特征向量為設(shè)特征值,0321 ??? xxx則有 ?????????? ???????????? ???10101121 kkx.)1,0,1(,)0,1,1( 3 21 ?????? ??的特征向量為故對應(yīng)特征值:, 21 正交化得將 ?? ,)0,1,1(11 ???? ??,)1,21,21(),( ),( 1112122 ?????? ???????:, 211 單位化得將 ??p ,)31,31,31(1 ???,)0,21,21(2 ???? ,)62,61,61(3 ?????,62031612131612131),(321????????????????????? ???P取,626161021213131311???????????????????????PP從而1???? PPA.411141114???????????.56)(,122221212. 8910 AAAAA ?????????????? ?設(shè)四Solution. 0)1)(1)(5(122221212???????????????? ??????? AE由,1,1,5 321 ???? ???得,)1,1,1( 5 11 ??? p的特征向量為對應(yīng) ?,)0,1,1( 1 22 ???? p的特征向量為對應(yīng) ?,)2,1,1( 1 33 ????? p的特征向量為對應(yīng) ?,),( 1321 ??? ? APPpppP 使得存在可逆陣,1??? PPA則,100010005?????????????且???????????????????3161613267613131311P8910 56)( AAAA ???? ?1819110 56 ??? ?????? PPPPPP18910 )56( ??????? PP1)1(000)1(000)5(????????????? PP??????????????????????????????????????????????3161613267613131311200000000201111113??????????????????????????422000000201111113.844422422???????????????The end Chapter 4 特征值與特征向量小結(jié) 一、內(nèi)容小結(jié) 2. 相似矩陣的定義與性質(zhì) 3. 矩陣可對角化的條件 1. 特征值特征向量的定義與性質(zhì) 4. 正交矩陣的定義與性質(zhì) 5. 實(shí)對稱矩陣特征值特征向量的性質(zhì) 1. 特征值特征向量的定義與性質(zhì) . , , 的特征向量的對應(yīng)于特征值稱為非零向量的特征值稱為方陣這樣的數(shù)那末成立使關(guān)系式維非零列向量和如果存在數(shù)階方陣是設(shè)????AxAxAxxnnA?定義 . (1) 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的． (2) 屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個特征值的特征向量． (3) 矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征 值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一； 一個特征向量不能屬于不同的特征值． 。 的特征多項(xiàng)式叫做 AAE ??。 )( 的特征矩陣叫做 AAE ??. 0 的特征方程叫做 AAE ???,)1( 0 的特征值是若 A? ?? AE0?則)( 0 AEr ?? OxAE ?? )( 0?,0,n? 有非 0解 . 的為則稱重根的為若 00 ,0)2( ??? kkAE ??.代數(shù)重數(shù)的稱其為的個數(shù)為的基礎(chǔ)解系中所含向量得對應(yīng)于0000),( )(,????AEr a n knOxAE????.幾何重數(shù)結(jié)論 1. 方陣 A的特征值的幾何重數(shù)不超過 它的代數(shù)重數(shù) . 結(jié)論 2. 對角陣、上三角陣、下三角陣的特征值 即為其主對角線上的元素 . 結(jié)論 3. .的特征值相同與方陣 AA ?結(jié)論 4. ,)( 21則有的特征值為階方陣設(shè) nijaAn ??? ??。 )1( 221121 nnn aaa ??????? ?? ???. )2( 21 An ???? ?結(jié)論 5. 若 ? 是矩陣 A的特征值 , x是 A的屬于 ? 的特征 向量 , 則 ? ? .)1( 是任意常數(shù)的特征值是 kkAk ?? ? .)2( 是正整數(shù)的特征值是 mA mm?.,)3( 11 的特征值是可逆時當(dāng) ?? AA ?.,)4( *1 的特征值是可逆時當(dāng) AAA ??.)()(,)5( 的特征值是為多項(xiàng)式函數(shù)時當(dāng) Afff ?2. 相似矩陣的定義與性質(zhì) ., ,1相似與或說矩陣的相似矩陣是則稱使若有可逆矩陣階方陣都是設(shè)BAABBAPPPnBA?? .~ BA記為。~ )1( AA。~,~ )2( ABBA 則若。~,~,~ )3( CACBBA 則若? ? )。)(()4( 2111211 PAPPAPPAAP ??? ?? ? 。)5( 21211122111 PAPkPAPkPAkAkP ??? ???., 21 是任意常數(shù)其中 kk。,~ )6( BABA ?則若 。~,~ )7( mm BABA 則若 。~,~ )8( 11 ?? BABA 則若 。),(~)(,~ )9( 為多項(xiàng)式函數(shù)其中則若 fBfAfBA 。,~ )10( 的特征值相同與則若 BABA 。, ),(~ )11(2121個特征值的是則若nAd i agAnn????????3. 矩陣可對角化的條件 定理 1. .)(個線性無關(guān)的特征向量有能對角化即與對角陣相似階方陣nAAAn?結(jié)論 1. 若 n階矩陣 A有 n個互不相等的特征值 , 則 A與對角陣相似 . 結(jié)論 2. .重數(shù)的幾何重數(shù)等于其代數(shù)的每個特征值與對角陣相似階矩陣iAAn??結(jié)論 3. 實(shí)對稱矩陣一定可對角化 . 4. 正交矩陣的定義與性質(zhì) . , 正交矩陣為則稱滿足階方陣若 AEAAAn ?? 。1 )1( ??A 。, )2( 也是正交矩陣則為正交矩陣 ABBA 。 )3( 1 AAA ??? ?是正交矩陣 。 )4( 也是正交矩陣是正交矩陣 AA ?? .)( )5(量組向量組是正交的單位向行的列是正交矩陣方陣AA ?若 P為正交矩陣 , 則線性變換 y=Px稱為正交變換 . 正交變換不改變向量的長度 , 也不改變兩向量間 的內(nèi)積及夾角 . 5. 實(shí)對稱矩陣特征值特征向量的性質(zhì) (1) 實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) . (2) 實(shí)對稱矩陣的特征向量為實(shí)向量 . (3) 實(shí)對稱矩陣 A對應(yīng)于不同 特征值的特征 向量是正交的 . (4) 實(shí)對稱矩陣的每個特征值的代數(shù)重數(shù) 與幾何重數(shù)相等 . ., ),( ,111的特征值是其中使則必有正交矩陣階實(shí)對稱矩陣為設(shè)Adi agAPPPnAnn????????定理 . 二、題型與方法 2. 判別矩陣是否可對角化， 找可逆矩陣使其與對角陣相似 1. 求特征值特征向量 3. 實(shí)對稱矩陣的對角化（ 可逆變換與正交變換 ） 利用 可逆矩陣 將實(shí)對稱矩陣對角化 ,其具體步驟 為： ? ? 。,0 )2( 1 ni AxAE ??? ?的特征向量求出由 ??。 )1( iA ?的特征值求).,( ),( )3( 111 nn d i a gAPPP ???? ?? ?? ?則令利用 正交矩陣 將實(shí)對稱矩陣對角化 ,其具體步驟 為： ? ? 。,0 )2( 1 ni AxAE ??? ?的特征向量求出由 ??。 )1( iA ?的特征值求。,, )3( 11 nn pp ?? 單位化得正交化將 ??).,( ),( )4( 111 nn d i a gAPPppP ?? ?? ?? ?則令1. 求特征值特征向量 .201034011 .1 的特征值和特征向量求矩陣?????????????AexSolution. 的特征多項(xiàng)式為A.1,2 321 ??? ???的特征值為所以 A.0)2(,21 ??? xAE解方程組時當(dāng) ?201034011??????????? AE,)2( )1( 2??? ?????????????????001014013)2( AE????????332100xxxx從而.2)0( 11 的全部特征向量是對應(yīng)于所以 ?? ?kkp .0)(,132 ???? xAE解方程組時當(dāng) ??,000010001???????????,1003321?????????????????????? xxxx,100 1???????????p基礎(chǔ)解系為????????????????101024012)( AE??????????3332312xxxxxx從而.1)0( 322 的全部特征值是對應(yīng)于所以 ??? ??kpk,000210101???????????,1212?????????????p基礎(chǔ)解系為,1213321???????????????????????? xxx.5,5 ,2,1,1 3 .2*23 EABAAABAex????與的特征值計算設(shè)矩陣的特征值為階矩陣已知Solution. ,22)1(1 ??????A?,* ?AA 的特征值 .1,2,2 ??即,2,1,1 時的特征值為當(dāng) ?A ,8,1,1 3 ?的特征值為A,4,1,1 2 的特征值為A,12,6,4 ???的特征值為B 2 8 8)12)(6)(4( ??????B,3,6,4 5 ???? 的特征值為EA.72)3)(6)(4(5 ??????? EA.1,1, .3 的特征值是證明已知 AAEAAex ?????? ?Proof. ??? AE? AEn ?? )1( 0?? AAAAE ???? 而 AEA )( ???AEA )( ??? AEA )( ??? AAE ??AE ???0??? AE0???? AE.1 的特征值是即 A???2. 判別矩陣是否可對角化，找可逆矩陣使其對角化 ex4.