[研究生入學考試]趙樹源線性代數_線性代數第1講(編輯修改稿)
2025-11-15 01:17 本頁面
【文章內容簡介】 奇排列為 p個 , 偶排列為 q個 . 設想將每一個奇排列都施以同一的對換 , 例如都對換 (1,2), 則由 定理 p個奇排列全部變?yōu)榕寂帕?, 于是有 p?q。 同理如將全部偶排列也都施以同一對換 , 則 q個偶排列全部變?yōu)槠媾帕?, 于是又有 q?p, 所以得出 p=q, 即奇偶排列數相等 , 各為 n!/2個 . 用三級排列驗證 , 見 表 11, 奇偶排列各三個 23 (二 ) n階行列式的定義 觀察二階行列式和三階行列式 : 11 1211 22 12 2121 22aaa a a aaa??11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a?11 22 33 12 23 3113 21 32 11 23 3212 21 33 13 22 31a a a a a aa a a a a aa a a a a a++???24 (1) 二階行列式表示所有不同的行不同的列的兩個元素乘積的代數和 . 兩個元素的乘積可以表示為 1212jjaaj1j2為 2級排列 , 當 j1j2取遍了 2級排列 (12, 21)時 , 即得到二階行列式的所有項 (不包含符號 ), 共為 2!=2項 . 25 三階行列式表示所有位于不同的行不同的列的 3個元素乘積的代數和 . 3個元素的乘積可以表示為 1 2 31 2 3j j ja a aj1j2j3為三級排列 , 當 j1j2j3取遍了 3級排列時 , 即得到三階行列式的所有項 (不包含符號 ), 共為 3!=6項 . 26 (2) 每一項的符號是 , 當這一項中元素的行標按自然數順序排列后 , 如果對應的列標構成的排列是偶排列則取正號 , 是奇排列則取負號 . 如在上述二階行列式中 , 當N(j1j2)為偶數時取正號 , 為奇數時取負號 。 在上述三階行列式中 , 當 N(j1j2j3)為偶數時取正號 , 為奇數時取負號 . 根據這個規(guī)律 , 可給出 n階行列式的定義 . 27 定義 用 n2個元素 aij(i,j=1,2,…, n)組成的記號 11 12 121 22 212nnn n nna a aa a aa a a稱為 n階行列式 , 其中橫排稱為行 , 縱排稱為列 . 它表示所有可能取自不同的行不同的列的 n個元素乘積的代數和 , 各項符號是 : (接后 ) 28 當這一項中元素的行標按自然數順序排列后 , 如果對應的列標構成的排列是偶排列則取正號 , 是奇排列則取負號 . 因此 , n階行列式所表示的代數和中的一般項可以寫
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