線性代數(shù)167ppt課件(編輯修改稿)
2025-02-15 08:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1. 若二次型含有 xi 的平方項 , 則先把含有 xi的乘積項集中 , 然后配方 , 再對其余的變量同樣進行 , 直到都配成平方項為止 , 經(jīng)過非退化線性變換 , 就得到標準形 。 拉格朗日配方法的步驟 2. 若二次型中不含有平方項 , 但是 aij?0 ( i ? j ), 則先作可逆線性變換 : ??????????kkjijjiiyxyyxyyx 化二次型為含有平方項的二次型 , 然后再按 1中方法配方 . ( k ? i, j ). 例 5: 化二次型 為標準形 , 并求所用的線性變換矩陣 . f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 解 : 用含有 x1的項配方 含有平方項 =x12+2 x1x2+2 x1x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2–x22–x32–2x2x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3 =(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2 ???????????3332232112xyxxyxxxy????????????3332232112yxyyxyyyx.100210111321321????????????????????????????yyyxxx令 所用變換矩陣為 ? ? .01||,100210111????????????? CC f = x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 = y12+y22 , 33212211??????????yxyyxyyx解 : 由于所給二次型中無平方項 , .100011011321321??????????????????????????yyyxxx f =2 x1x2+2 x1x3–6x2x3 例 6: 化二次型 為標準形 , 并求所用的線性變換矩陣 . 所以 令 即 代入二次型 f =2 x1x2+2 x1x3–6x2x3, 得 f =2y12–2y22–4 y1 y3+8y2 y3 再配方 , 得 ??????????333223112 yzyyzyyz f =2(y1 y3)2–2(y2–2y3)2+6 y32. 令 ,2 33322311???????????zyzzyzzy.100210101321321?????????????????????????zzzyyy即 f =2z12–2z22+6 z32. 得 所用變換矩陣為 ??????????????????100210101100011011C ???????100111311| C | =–2?0. 用配方法時要注意所用的變換是否為可逆變換 . 按上述標準程序配方時一定是可逆變換 . 三、初等變換法 定理： 對任一個 n階實對稱矩陣 A，都存在可逆陣 C， 使得 12( , , , )T nC A C d ia g d d d?即：任一 n階實對稱矩陣 A，都可以通過一系列 同類型 的初等行、列變換 化為對角陣 . 同類型的初等行列變換： 當 C 可逆時，一定存在一列初等矩陣，使得 kC P P P? 12于是： ( , , , )T T T Tk k nC A C P P P A P P P d ia g d d d?? 2 1 1 2 1 2且 kkC P P P P P PI??1 2 1 2注意到 , ( ) ( ) , ( ) ( )TTTij ij i i ij jiE E E k E k E k E k??? ? ????? ??所以 T T TkkP P P A P P P2 1 1 2表示對 A進行同類型的 初等行，列變換 . 可將對稱矩陣 A化為對角陣－－用數(shù)學歸納法證明 證明：對 A的階數(shù) n用數(shù)學歸納法 當 n＝ 1時，顯然成立。 假設結論對 n－ 1階對稱矩陣成立，那么 對于 nnn n nnaaaAaaaaa a?????????1121122 22121（ 1）若 a ?11 0先做 arra? 122111可將第二行的 a12 變?yōu)?0 再做 acca? 122111可將第二列的 a12 變?yōu)?0 繼續(xù)做下去，可將第一行和第一列的其余元素變?yōu)?0，得到的矩陣： aAA???????11100其中 A1 為 n－ 1階對稱矩陣。 （ 2）若 , iiaa??11 00則先將第一行和第 i 行交換， 再將第一列和第 i 行交換，則 iia 為第一行第一列的 元素，從而化為情形（ 1） . （ 3）若主對角元均為 0， ,i j j iaa?? 0則先做 ija2 為第一行第一列的元素， 也可化為情形（ 1） . ,irr?1再做 ,icc?1 則 由歸納假設可知結論成立 . 由 ( , , , )T T T Tk k nC A C P P P A P P P d ia g d d d?? 2 1 1 2 1 2kkC P P P P P PI??1 2 1 2可知方法如下 : AI??????同類型的初等 行，列變換 C???????或： ? ?AI ? ?TC?同類型的初等 行，列變換 一般采用第二種方法 . 例 7： 將二次型 2221 2 3 1 2 1 3 2 32 5 5 4 4 8f x x x x x x x x x? ? ? ? ?
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1