【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?????)()()(1222221111111?????k例如 例 2101044614753124025973313211???????????D二、應(yīng)用舉例 計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ． ji krr ?3? ?2101044614753124025973313211???????????D3? ?解 2101044614753124022022013211312?????????? rr2101044614753140202022013211?????????2101044614753124022022013211312?????????? rr? ?2???? ?3???12 2rr ?? ??? 4?42 rr ?2220020220140203512013211????????? 2220035120140202022013211?????????14 4rr ?13 3rr ?2220001000211003512013211????????34 rr ?2220020220211003512013211?????????23 rr ??? ?2???6000001000211003512013211????????? ?? ?? ?612 ?????45 4rr ? .12?6400001000211003512013211????????35 2rr ?4??例 計(jì)算 階行列式 nabbbbabbbbabbbbaD??????????解 ? ?? ?? ?? ? abbbnababbnabbabnabbbbna?????????1111?????????D將第 都加到第一列得 n,3,2 ?? ?abbbabbbabbbbna?????????1111)1( ???? ?babababbbbna????????1)1(00? ? .)()1( 1????? nbabna例 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD????????????1111111111110?設(shè),)d e t (11111kkkkijaaaaaD?????? ,)d e t(11112nnnnijbbbbbD??????.21 DDD ?證明 證明 。0111111 kkkkkpppppD ???? ??設(shè)為化為下三角形行列式，把作運(yùn)算對(duì) 11 DkrrD ji ?化為下三角形行列式把作運(yùn)算對(duì) 22 , DkccD ji ?.0111112 nnnknqqpqqD ???? ??設(shè)為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD???????????化為下三角形行列式把算列作運(yùn)，再對(duì)后行作運(yùn)算的前對(duì)DkccnkrrkDjiji,??nnkk qqppD ?? 1111 ??故 .21 DD?167。 6 行列式的展開(kāi)定理 一、余子式與代數(shù)余子式 二、行列式按行（列）展開(kāi)法則 三、小結(jié) 思考題 ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa??????333231232221131211aaaaaaaaa例如 ? ?3223332211 aaaaa ?? ? ?3321312312 aaaaa ??? ?3122322113 aaaaa ??333123211333312321123332232211 aaaaaaaaaaaaaaa ???一、余子式與代數(shù)余子式 在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素 的 余子式 ，記作 n ija i j1?n ija.Mij? ? ，記 ijjiij MA ??? 1叫做元素 的 代數(shù)余子式 ． ija例如 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?44424134323114121123aaaaaaaaaM ?? ? 233223 1 MA ??? .23M??,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?,44434134333124232112aaaaaaaaaM ?? ? 122112 1 MA ??? .12M??,33323123222113121144aaaaaaaaaM ?? ? .1 44444444 MMA ??? ?.個(gè)代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一行列式的每個(gè)元素分別引理 一個(gè) 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ． ijij AaD ?n iija ija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD ?? ? .14442412422211412113333aaaaaaaaaa???例如 證 當(dāng) 位于第一行第一列時(shí) , ijannnnnaaaaaaaD??????21222211100?即有 .1111 MaD ?又 ? ? 111111 1 MA ??? ,11M?從而 .1111 AaD ?在證一般情形 , 此時(shí) nnnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?,1,2,1 行對(duì)調(diào)第行第行行依次與第的第把 ?? iiiD得 ? ?nnnjnnijiiijiaaaaaaaD????????????1,1,11,11001 ??????ijaija,1,2,1對(duì)調(diào)列第列第列列依次與第的第再把 ?? jjjD得 ? ? ? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD????????????1,11,1,1110011???????????ija? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa????????????1,11,1,12001?????????? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa????????????1,11,1,1001????????ijaijannnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?中的余子式 .ijM在余子式仍然是中的在行列式元素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa????????????1,11,1,100?????ijaija故得 ? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD????????????1,11,1,1001????????? ? .1 ijijji Ma???于是有 nnjnnjnijijiijaaaaaaa????????????1,11,1,100?????,ijij Ma?ijaija定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni ,2,1 ??證 nnnniniinaaaaaaaaaD??????????????212111211000000 ??????????二、行列式按行（列）展開(kāi)法則 nnnninaaaaaaa???????????2111121100?nnnninaaaaaaa???????????2121121100?nnnninnaaaaaaa????????????211121100??ininiiii AaAaAa ???? ?2211? ?ni ,2,1 ??例 3351110243152113???????D03550100131111115?????? ? 31 2 cc ??34 cc ?0551111115)1( 33?????? ?055026115???5526)1( 31????? ?5028???.40?12 rr ? 證 用數(shù)學(xué)歸納法 21211xxD ?? 12 xx ?? ,)(12 ? ??? ?? ji ji xx）式成立．時(shí)（當(dāng) 12?? n例 證明范德蒙德 (Vandermonde)行列式 ??????????1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD