第一章矩陣代數(編輯修改稿)
2025-08-16 14:14 本頁面
【文章內容簡介】 ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?I A I A I ABI B I B II I A I AB I B I I AB0000代數余子式 ?設 A為 p階方陣，將其元素 aij所在的第 i行與第 j列劃去之后所得 (p?1)階矩陣的行列式，稱為元素 aij的 余子式 ，記為 Mij。 Aij=(?1)i+jMij稱為元素 aij的 代數余子式 。有以下公式成立 ? ? ? ?111100ppij ij ij ijjippk j ij ik ijjia A a Aa A k i a A k j??????? ? ? ?????A，18 167。 矩陣的逆 ?若方陣 A滿足 |A|≠0，則稱 A為 非退化方陣 ；若 |A|=0，則稱 A為 退化方陣 。 ?設 A=(aij)是一非退化方陣，若方陣 C滿足 AC=I，則稱 C為 A的 逆矩陣 ，記為 C=A?1， A?1必是一個非退化矩陣。令 B′=(Aij)/|A| 其中 Aij是 aij的代數余子式，則容易驗證 AB=BA=I。由于 C=BAC=B，因此 A?1是惟一的，且 (A?1)?1=A。 19 逆矩陣的基本性質 ? (1)AA?1=A?1A=I。 ? (2)(A′)?1=(A?1)′。 ? (3)若 A和 C均為 p階非退化方陣，則 (AC)?1=C?1A?1 ? (4)|A?1|=|A|?1。 ? (5)若 A是正交矩陣，則 A?1=A′。 ? (6)若 A=diag(a11,a22,?,app)非退化 (即 aii≠0， i=1,2,?,p)， 則 ? (7)若 A和 B為非退化方陣，則 ? ?1 1 1 111 22dia g , , , ppa a a? ? ? ??A1 11? ?????? ??????? ??A AB B0 00 020 167。 矩陣的秩 ?一組同維向量 a1,a2,?,an，若存在不全為零的常數c1,c2,?,，使得 c1a1+c2a2+?+an=0 則稱該組向量 線性相關 。若向量 a1,a2,?,an不線性相關，就稱為 線性無關 。 ?矩陣 A的線性無關行向量的最大數目稱為 行秩 ，其線性無關列向量的最大數目稱為 列秩 。矩陣的行秩和列秩必相等，故統(tǒng)一將其稱為 A的 秩 ，記作rank(A)。 21 矩陣秩的基本性質 ? (1)rank(A)=0，當且僅當 A=0。 ? (2)若 A為 p q矩陣 , 且 A≠0，則 1≤rank(A)≤min{p,q}(若 rank(A) =p,則稱 A為 行滿秩 的；若 rank(A)=q,則稱 A為 列滿秩 的 )。 ? (3)rank(A)=rank(A′)。 ? (4) 。 ? (5)rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}。 ? (6)若 A和 C為非退化方陣，則 rank(ABC)=rank(B) ? (7)p階方陣 A是非退化的，當且僅當 rank(A)=p(稱作 A滿秩 )。 ? (8)rank(AA′)=rank(A′A)=rank(A)。 ? ? ? ?r a n k r a n k = r a n k r a n k? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?AA ABBB000022 167。 特征值、特征向量和矩陣的跡 ?一、特征值和特征向量 ?二、矩陣的跡 23 一、特征值和特征向量 ? 設 A是 p階方陣，若對于一個數 λ，存在 x≠0，使得 Ax=λx，則稱 λ為 A的一個 特征值 或 特征根 ，而稱 x為 A的屬于 λ的一個 特征向量 。 ? (A?λI)x=0， x≠0，故 |A?λI|=0 |A?λI|是 λ的 p次多項式，稱為 特征多項式 。 上 式有 p個根 （ 可能有重根 ） ，記作 λ1,λ2,?,λp， 可以 為復數。反過來，若λi是 上 式的一個根，則存在 xi≠0，使得 (A?λiI)xi=0 ? 今后，一般 情況下 取 xi為單位向量，即滿足 ||xi||=1。 24 特征值和特征向量 的 基本性質 ? (1)A和 A′有相同的特征值。 ? (2)若 A和 B分別是 p q和 q p矩
化學相關推薦
鄂ICP備17016276號-1